Parece que el reclamo en el ejercicio es falso. Creo que este es un contraejemplo:
Deje $A=\mathbb Z_{(2)}$, es decir, $\mathbb Z$ se localiza en el primer $(2)$. Deje $K=\mathbb Q$ y deje $L=\mathbb Q(\zeta)$ donde $\zeta^3-\zeta^2-2\zeta-8=0$. Deje $B$ ser la integral de cierre de $A$$L$, lo $B=S^{-1}\mathcal O_L$ donde $S=\mathbb Z \smallsetminus 2\mathbb Z$. Deje $J=2B$.
$A$ es un DVR con $2A$ su único primo, que factores como $2B=P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$, y cada primer de $B$ es uno de los $P_i$. Por lo tanto, el conductor de la $\mathfrak f$ es relativamente primer a $J=2B$ fib $\mathfrak f=B.$, por Lo que debemos encontrar una $\theta \in B$ tal que $B=A[\theta]$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $\theta \in \mathcal O_L$.
Pero esto es imposible. De hecho, se puede demostrar que $2$ divide $[\mathcal O_L:\mathbb Z[\theta]]$ por cada $\theta$ $\mathcal O_L$ (como se observa en Keith Conrad notas del "Factoring después de Dedekind", pg. 5-6). Elija $b \in \mathcal O_L$ tal que $b\mod \mathbb Z[\theta]$ es un elemento de orden en $\mathcal O_L/\mathbb Z[\theta]$. Entonces para cualquier entero impar $k$, $kb\notin \mathbb Z[\theta]$, por lo $b \notin A[\theta]$. Por lo tanto $B \not= A[\theta]$.
Si alguien encuentra un error en este contraejemplo, o piensa que la reclamación en el ejercicio debe ser correcto, por favor hágamelo saber! Gracias.
