$p$ es el primer y $p^2\large\mid\normalsize|G|$

Question

Sugerencias necesarias:

Deje $p$ ser una de las primeras y $G$ un grupo finito tal que $p^2\large\mid\normalsize|G|$$p\large\mid\normalsize|\text{Aut}(G)|$.

Answer 1

Yo creo que no se puede demostrar esto, sin distinguir algunos casos.

Primero supongamos $G$ es Abelian; luego, por el teorema de estructura de que contiene un factor cíclico de orden $p^k$ $k\geq2$ o un factor de $(\mathbf Z/p\mathbf Z)^2$ ( $p^2\mid |G|$ ), y usted puede calcular el orden de su automorphism grupos, que se inyectan en $\mathop{\mathrm{Aut}} G$.

Si $G$ no es Abelian, y tiene un no-elemento central de orden una potencia de $p$, luego de la conjugación es tu amigo.

Usted puede demostrar que todo elemento de a $G$ es un producto (dentro de la cíclico grupo genera) de un elemento de orden una potencia de $p$ y un elemento de orden indivisible por $p$. En el caso que sigue, usted puede (creo) use esto para demostrar que tienes un producto directo de la descomposición de la $G$, y aplicar el primer caso.

Answer 2

Sabemos que hay un sylow $p$-grupo con el fin de $p^{n}$, $n\ge 2$. El nombre de este grupo a se $H$. Considere el interior de automorphism $G$: $$f: H\rightarrow Aut(G): h\rightarrow hgh^{-1}$$

El resto de detalles son "fáciles" para llenar(ver los comentarios o eliminan partes de ayuda). Tenga en cuenta que $n\ge 2$ es necesariamente ya que de lo contrario $\mathbb{Z}_{p}$ tiene un automorphism grupo de orden $p-1$, por lo que no tiene automorfismos de orden $p$.