Supongamos que tenemos una función real $f(t)$ con transformada de Fourier de $\hat{f}(w)$.
Se puede decir cualquier cosa acerca de la inversa de la transformada de Fourier de $\frac{1}{1\pm\hat{f}(w)}$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De forma heurística, si $\hat{f}(w)$ fue razonablemente bien educados y confinado transformables función (por ejemplo, imaginar una Gaussiana) de forma tal que $$\lim_{\omega=\pm\infty}\hat{f}(w)=0,\tag{1}$$, entonces:
$$\lim_{\omega=\pm\infty}\left[\hat{g}(w)=\dfrac{1}{1\pm \hat{f}(w)}\right]=1,$$
y se nota que la condición de $(1)$ es razonable (si no es necesario) asunción al $\hat{f}(w)$ es el espectro de cualquier sistema físico en donde la energía es finita.
Podemos entonces escribir:
\begin{aligned}g(t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\dfrac{1}{1\pm \hat{f}(w)}-1\right]e^{i\omega t}{d\omega}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}1e^{i\omega t}{d\omega},\\&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\dfrac{\pm \hat{f}(w)}{1\pm \hat{f}(w)}\right]e^{i\omega t}{d\omega}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}1e^{i\omega t}{d\omega},\\&=-h(t)+\sqrt{2\pi}\delta(t),\end{aligned}
y porque:
$$\lim_{\omega=\pm\infty}\left[\hat{h}(w)=\dfrac{\pm \hat{f}(w)}{1\pm \hat{f}(w)}\right]=0,$$
nos puede esperar que la transformada de la función $h(t)$ razonablemente bien educados (con algo de precaución necesarias de curso sobre la convergencia de la integral). Así que, ¿qué podemos decir acerca de la inversa de la transformada de Fourier de $\hat{g}(w)$? Podemos decir que esperamos que contienen un $\delta$ función de la contribución en el origen al $(1)$ mantiene y $h(t)$ existe.
Podemos decir nada acerca de $h(t)$? Al menos en una circunstancia importante, sí. Tomar el signo más y supongamos $\hat{f}(w)$ aproximadamente bandlimited función tal que: $$\hat{f}(w)\gg1,\,\,|\omega| \le \frac{B}{2},$$ $$\hat{f}(w)\approx 0,\,\,|\omega| \ge \frac{B}{2}, $$ entonces:
$$\hat{h}(w)\approx1,\,\,|\omega| \le \frac{B}{2},$$ $$h(t) \approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{B}{2}}^{\frac{B}{2}}1e^{i\omega t}{d\omega}=\frac{B}{\sqrt{2\pi}}\text{sinc} \left( \dfrac{Bt}{2} \right), $$
que es un $\text{sinc}$ función de que el valor de pico y la frecuencia de la oscilación es proporcional al ancho de banda de $\hat{f}(w)$. Por supuesto, no podemos esperar que los bordes de $\hat{h}(w)$ a ser tan fuerte, que permite una lenta decadencia en $\hat{f}(w)$ (que, posiblemente, puede incluso no ser estrictamente decreciente), permitiría $\hat{h}(w)$ a difundir en el dominio espectral que se limita a $h(t)$ más y abarca las $\text{sinc}$ función de una amortiguación de la envolvente, pero siempre que el ancho de banda aproximado de $\hat{f}(w)$ se conserva, como también lo es el valor de pico y la frecuencia de la oscilación de $h(t)$, (ver, por ejemplo, el Criado-filtro de coseno).
Ruth Burke
Puntos
11
Si se supone que esta transformación inversa existe y $\left\|\hat{f}\right\|<1 $, obtendrá
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1-\hat{f}(w)}e^{-iwx}dw=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}\left(\hat{f}(w)\right)^j e^{-iwx}dw=\sum\limits_{j=0}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\hat{f}(w)\right)^je^{-iwx}dw$$
No hay ninguna típico transforma de $\left(\hat{f}(w)\right)^j$ (WolframAlpha es silenciosa, no hay tal transformar en "Tablas de transformadas integrales (Bateman,Erdelyi)")
(upd), Pero podemos decir que $\left(\hat{f}\left(w\right)\right)^{j}=\hat{f}\left(w\right)\cdot\hat{f}\left(w\right)...\hat{f}\left(w\right)$, por lo tanto,
$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\hat{f}(w)\right)^je^{-iwx}dw=f^{j*}(x),$$ where $n*$ is n-th convolution of $f(x)$, con sí mismo. Así, la respuesta final es
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1-\hat{f}(w)}e^{-iwx}dw=\sum\limits_{j=0}^{+\infty}f^{j*}(x)$$
El mismo se puede hacer con
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+\hat{f}(w)}e^{-iwx}dw=\sum\limits_{j=0}^{+\infty}\left(-1\right)^{j}f^{j*}(x)$$
