Mostrar que $\alpha^n\notin k$ $n\ge 4$ donde $\alpha\in\bar{k}$ $[K:k]=n!.$

Question

Deje $k$ ser un campo, vamos a $f(X) \in k[X]$ ser un polinomio separable de grado $n$ cuyo grupo de Galois es isomorfo a $S_n$ , y deje $\alpha$ ser una raíz de $f(X)$ en algunos algebraicas cierre de $k$.

(a) Mostrar que $f(X)$ es irreductible.

(b) Mostrar que el $Aut_k(k(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$ si $n \ge 3.$

(c) Mostrar que el $\alpha^n \notin k$ si $ n\ge 4.$

Yo sé qué hacer para (a) y (b):

(a) Deje $G$ ser el grupo de Galois de $f$. Por el bien del argumento, supongamos $f(x)$ es reducible. A continuación, $f$ se puede escribir como un producto de distintos factores irreducibles (desde $k[x]$ es un UFD). Deje $\alpha_i, \alpha_j$ ser distintas de las raíces de estos dos factores irreducibles. Pero entonces cualquier $\sigma\in G$ debe enviar $\alpha_i$ a otra raíz de su polinomio mínimo. En particular, no podemos tener $\sigma(\alpha_i) = \alpha_j$, por lo tanto $G$ no es isomorfo a un transitiva subgrupo de $S_n$. Pero $S_n$ es transitivo subgrupo de sí mismo, una contradicción.

(b) basta para mostrar que $\alpha$ es la única raíz de $f(x)$$k(\alpha)$. Supongamos que existe otra raíz $\beta\in k(\alpha)$. Luego de más de $k(\alpha)$, $$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)g(x),$$ donde $\deg g(x) = n-2.$ Deje $K$ ser la división de campo de la $f$$k$. Entonces a partir de la $G\cong S_n,$ tenemos $[K:k]=n!.$ Y desde $\deg g = n-2,$ tenemos $[K:k(\alpha)]\le (n-2)!,$ $[k(\alpha):k]=n$ por la irreductibilidad de $f$$k$. Pero, a continuación, $$[K:k] = [K:k(\alpha)][k(\alpha):k]\le (n-2)!\cdot n<n!,$$ contradiciendo ese $G\cong S_n.$

Ahora, ¿cómo nos ataque (c)?

Answer 1

Supongamos $\alpha^{n} \in k$. A continuación, $\alpha$ es una raíz de $g(X) = X^{n} - \alpha^{n}$, lo $f \mid g$; ya que ambos son monic y del mismo grado, obtenemos $f = g$. Las raíces de $g(X)$ son de la forma $\xi^{k}\alpha$ donde $\xi$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad, por lo que la división de campo de $K$ $g$ está dado por $k(\xi, \alpha)$. Por parte $b$, la división de campo de $K$ debe tener grado $n!$$k$; pero $[k(\xi, \alpha):k] \leqslant [k(\xi):k]\cdot [k(\alpha):k] = \varphi(n) \cdot n \leqslant n(n-1)$ donde $\varphi$ es el de Euler totient función. Si $n \geqslant 4$,$n! > n(n-1)$, una contradicción.

Es tal vez la pena señalar que no podemos mejorar la enlazado $n \geqslant 4$. Tomando $k = \mathbb{Q}$, el polinomio $f(X) = X^{3}-2$ ha Galois grupo $S_{3}$, y las raíces se $\sqrt[3]{2}, \xi\sqrt[3]{2}, \xi^{2}\sqrt[3]{2}$ donde $\xi$ es una primitiva tercera raíz de la unidad.