Buen libro para el auto estudio del análisis funcional

Question

Soy un estudiante graduado de EE.UU. que ha hecho un curso de análisis real (que fue más o menos el único curso de matemáticas puras que he hecho). Me gustaría hacer un autoestudio de algún análisis funcional básico para poder estar mejor preparado para hacer un curso de postgrado en ese material en mi universidad. Planeo hacer eso el próximo otoño, así que tengo algo de tiempo para trabajar en un libro completamente. ¿Podría alguien recomendar algunos buenos libros para empezar a trabajar en esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Echa un vistazo a "Introductory Functional Analysis with Applications" de Erwin Kreyszig. No lo he leído, pero me han hablado muy bien de él. Además, en el prefacio, escribe que el Cálculo y la familiaridad con el Álgebra Lineal son todo lo que se necesita como prerrequisitos.

Answer 2

Teniendo en cuenta el hecho de que sólo has tenido un curso de licenciatura en análisis y que vas a tomar una clase de análisis funcional real, no creo que realmente quieras auto-estudiar el análisis funcional. Sería mucho más útil para ti

• ponte al día con el álgebra lineal
• revise su análisis real

El análisis funcional es, en gran parte, álgebra lineal en un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los números reales o complejos. Tener una buena intuición del álgebra lineal es esencial: sabrás qué es razonable esperar cuando las infinidades dimensionales pueden ser controladas (por algún tipo de compacidad), y cuando no pueden ser controladas, qué partes del argumento no pueden ir mal.

Un poco de análisis real también es útil porque en esos libros se introducen muchas nociones topológicas, y es necesario estar familiarizado con ellas. Además, las nociones relacionadas con los espacios normados/métricos, las nociones básicas de convergencia y compacidad, y muchas otras, se utilizan constantemente en el análisis funcional.

Por lo tanto, creo que será mejor que revises los apuntes de tu curso de análisis de grado (o que repases los de Rudin Principios del análisis matemático ) y estudiando algo de álgebra lineal (lamentablemente no se me ocurre ningún libro bueno para recomendar ahí).

Answer 3

No es por asustar, pero la lista de requisitos para un primer curso de análisis funcional es bastante larga:

• Teoremas básicos de los espacios métricos que incluyen, pero no se limitan a:
  • Teorema de la categoría Baire
  • $\ell^p$ está completo
  • Arzelà-Ascoli (¿de qué otra manera se puede demostrar que un operador es compacto?)
• Medir la teoría --- o al menos estar dispuesto a aceptar que hay que aprender algo mientras se lee el análisis funcional. Porque la Teorema de la representación de Riesz esencialmente dice que para una gran clase de espacios "razonables", las funciones lineales continuas y las medidas son las mismas. En otras palabras, gran parte de la teoría no tendrá sentido sin conocer al menos algo de teoría de las medidas.
• Topología. Si quieres ir más allá de los espacios de Banach y estudiar los espacios de Fréchet. El dual continuo de un espacio de Fréchet que no es un espacio de Banach no es necesariamente metrizable --- y puedes trabajar con múltiples topologías diferentes en tus espacios (débil, fuerte, débil-*)

Si eso no le asusta, le recomiendo el libro "Introduction to Functional Analysis", de Reinhold Meise y Dietmar Vogt, que contiene mucha información. ISBN 0-19-851485-9.

Y cuando digo denso me refiero a muy denso. Tiene la modesta cifra de 437 páginas, pero en un curso tardío de licenciatura en análisis funcional cubrimos menos de un tercio de ese libro (más algunas notas sobre convexidad) en un semestre.

En cuanto a Real & Complex Analysis de Rudin: es un gran libro, pero no sé si lo llamaría realmente un libro de análisis funcional. Yo diría que es sobre el análisis en general --- de ahí el título.

ACTUALIZACIÓN: Si crees que necesitas repasar el análisis real, Terence Tao tiene apuntes para 3 cursos en su página web: Análisis real 245A (en curso en el momento de escribir este artículo), 245B y 245C . En realidad creo que puedo recomendar la totalidad de su página web.

Answer 4

Yo también soy EE. Y creo que el Análisis Funcional de Kreyszig es un buen libro para tu formación.

Answer 5

Hay un libro que podría encajar perfectamente en tu nivel actual. El libro es Inicio del análisis funcional por Karen Saxe. Está dirigido a estudiantes universitarios cuya formación es un curso básico de álgebra lineal y análisis real. Es bastante adecuado para el autoestudio, ya que es muy legible (yo mismo lo he hecho), y la autora afirma que uno de sus objetivos es que el libro pueda utilizarse para el autoestudio.

No requiere ninguna teoría de la medida porque desarrolla los fundamentos de la medida de Lebesgue en el capítulo 3.

Lo recomiendo encarecidamente si quieres leer un poco sobre el análisis funcional sin tener que dominar más cosas para leer libros más avanzados.