vector de cálculo Integral vectorial

Question

Nuestro profe de física escribió la siguiente ecuación:

$\int\frac{\vec{r}}{r^3}d\vec{r} = \int\frac{1}{r^2}dr$

Esto es lógico, mientras que yo sostengo que $\vec{r}$ $d\vec{r}$ son paralelas, por lo que el producto escalar se evalúa como $|\vec{r}||d\vec{r}| = r dr$ sin Embargo, a continuación, traté de hacerlo de la mano:

$\vec{r}d\vec{r} = \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\\ \end{array}\right) = xdx + ydy + zdz$

pero esto no está ni cerca de

$rdr = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$

es por eso que me gustaría preguntarle ¿qué estoy haciendo mal.

Gracias de antemano

ftiaronsem

Answer 1

Tal vez la siguiente ayuda (parece ser descuidado la notación de su profe):

La integral de la $$\int_{\mathbf{r}_a}^{\mathbf{r}_b}\frac{\vec{r} \cdot d\vec{r}}{r^3}$$ es una línea integral. El campo de vectores $$\vec{E}(\vec{r})=\frac{\vec{r}}{r^3}$$ es el gradiente de un campo escalar $\phi(\vec{r}) = -r^{-1}$, es decir, $$\vec{E}(\vec{r}) = \vec{\nabla} \phi(\vec{r}).$$ Por lo tanto, la línea de la integral es el camino independiente y el resultado está dado por $$\int_{\mathbf{r}_a}^{\mathbf{r}_b} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} = \int_{\mathbf{r}_a}^{\mathbf{r}_b} \vec{\nabla} \phi(\vec{r}) \cdot d\vec{r} = \phi(\vec{r}_b) - \phi(\vec{r}_a) = r_a^{-1} - r_b^{-1},$$ resultado que coincide con el de su profe.