Elemental pregunta sobre el extremo de las singularidades

Question

En George Sterman del libro "Una Introducción a la Teoría Cuántica de campos", en las páginas 413-414, hay una descripción de la estación de la singularidad. Uno comienza con la función

$$ I(w) ~=~ \int_{\zeta_a}^{\zeta_b}\! d\zeta\,F(\zeta, w)\tag{13.2} $$

de una función racional $F(\zeta, w)$ $\zeta$ a que, en el peor de los casos, aislado polos en $\zeta$ con posiciones $\zeta = \xi_i(w)$ algunos $w$.

Supongamos que uno de los polos migra a $\zeta_a$. En el lenguaje del libro, existe $w = w_0$ tal que $\zeta_a = \xi_i(w_0)$. Considere la posibilidad de la continuación analítica de $I(w)$ $w_1$ $w_2$a lo largo de un camino de $R_j$, lo que evita la $w_0$.

Según el libro,

Cualquier continuación corresponde a un camino de $\rho_j$ de pole $\xi_i(w)$ $\zeta$ plano de$\xi_i(w_1)$$\xi_i(w_2)$. El último caminos son de dos tipos: las rutas como $\rho_1$ ir alrededor del contorno, mientras que aquellos que, como $\rho_2$ cruz el contorno, que luego se encierra el extra de polo en $\xi_i(w_2)$.

Los dos analítica continuaciones por lo tanto difieren por $2\pi i Z(w_2)$ donde $Z_i(w_2)$ es el residuo de la pole de $F(\zeta, w)$$\zeta = \xi_i(w_2)$.

Mi pregunta es: ¿por qué existe el extra de contorno alrededor del polo en $\xi_i(w_2)$ en el segundo caso?

Esta es probablemente una muy trivial pregunta.

EDIT: Aquí está una búsqueda de libros de Google enlace a las páginas relacionadas con este asunto.

Answer 1

El uso de la fig 13.2 de [2] como referencia.

Tomando el ejemplo Qmechanic los usos, la idea es que

$I(\omega) = \int_{\zeta_a}^{\zeta_b}\frac{Z(\omega)}{\zeta - \xi(\omega)} d\zeta$

$I(\omega)$ tiene que ser analíticamente continuación de la $\omega_1 \rightarrow \omega_2$. El polo de el integrando viajes de $\zeta = \xi(\omega_1) \rightarrow \zeta = \xi(\omega_2)$ en el plano complejo de $\zeta$.

En algún punto de $\omega' \in (\omega_1, \omega_2)$, la expresión para $I(\omega')$ ya no es válida, ya que $\xi(\omega')$ cae sobre el contorno definido en $I(\omega)$, como se observa en el 3er diagrama en la figura 13.2 [2].

Pero, podríamos evitar esta situación por analíticamente continua de $\omega_1 \rightarrow \omega_2$ a lo largo de un camino que evita el contorno de $I(\omega)$ en total, que es lo que ocurre en el 2º diagrama en la figura 13.2 a (segunda línea a la izquierda)[2]. Analítica continuación a lo largo de este camino de $\omega$-plano da la misma función $I(\omega)$ escrito anteriormente.

Para el problema de la ruta de acceso (3 de diagrama en la figura 13.2 [2]), analítica continuación requeriría que se nos escapa el polo de alguna manera tal que la nueva expresión de la $I'(\omega)$ es una función analítica para todos los puntos de $\omega \in (\omega_1, \omega_2)$.

Una manera simple de hacer esto es para definir $$I'(\omega) = \int_\mathcal{C}\frac{Z(\omega)}{\zeta - \xi(\omega)} d\zeta$$

Cuando el contorno es ahora

¿Por qué funciona esto? El integrando se define lo largo de $\omega \in (\omega_1, \omega_2)$ y que coincide con la expresión $I(\omega)$ al $\xi(\omega)$ se encuentra en la región por debajo del contorno de $I(\omega)$, donde se suponía que iba a ser una analítica de la función, para empezar.

Ahora, se puede ver fácilmente que $I'(\omega)-I(\omega) = 2\pi\iota Res(\omega_2)$

[2]: G. Sterman, Introducción a la QFT, 1993; Fig 13.2 p. 414

Answer 2

I) Dejar que se dé una función de meromorphic$\zeta \mapsto F_{w}(\zeta)$ en el $\zeta$plano con una sola (no necesariamente simple) pole en la posición $\zeta=\xi(w)$ donde $\xi$ es un holomorphic función, y $w\in \mathbb{C} $ es un parámetro externo.

Ref. 1 es considerando el contorno integral $$\tag{A}I_{\Gamma,w} ~=~ \int_{\Gamma} \! d\zeta ~F_w(\zeta), $$ a lo largo de un abierto orientado a la curva de $\Gamma:[a,b]\to \mathbb{C}$ con condiciones de frontera $$\tag{B} \Gamma(a)~=~\zeta_a\quad\text{and}\quad \Gamma(b)~=~\zeta_b. $$

II) La integral en (A) está bien definido si el polo $\xi(w)$ no radica en la integración de contorno $\Gamma([a,b])$.

Por otro lado, la integral (a) ¿ no cambiar si queremos deformar la la integración de contorno de $\Gamma_0$ $\Gamma_1$a través de una homotopy
$$ H: [0,1] \times [a, b]\to \mathbb{C},\qquad H( 0,\cdot)~=~ \Gamma_0,\qquad H(1, \cdot)~=~ \Gamma_1, $$ $$\tag{C} H(\cdot,a)~=~\zeta_a,\qquad H(\cdot,b)~=~\zeta_b, $$ sin cruzar el polo $\xi(w)$, cf. De Cauchy de la integral teorema.

III) Ahora Ref. 1 es el estudio de la monodromy de un punto final de singularidad,de decir en la parte superior de punto final $\zeta_b=\xi(w_b)$. Esto significa efectivamente considerando un cerrado orientado a la curva de $\gamma:[0,1]\to \mathbb{C}$ $w$- plano $$\tag{D} w~=~\gamma(t), \qquad t\in [0, 1], $$ que circunda $w_b$. Vamos a llamar a la común de inicio y el punto final para $w_0\equiv w_1$.

Esto, a su vez, induce una curva cerrada $\xi\circ \gamma$ $\zeta$- plano $$\tag{E} \zeta~=~\xi\circ \gamma(t), \qquad t\in [0, 1], $$ que circunda $\zeta_b$, dicen, en la dirección positiva/en sentido antihorario.

Cuando vayamos a lo largo de la curva (E), se debe deformarse/ajustar la integración de contorno $\Gamma_t\equiv H(t,\cdot)$ correspondientemente con el fin de evitar que la singularidad toca la integración de contorno. La curva (E) lleva la integración de contorno $\Gamma_t\equiv H(t,\cdot)$ frente a él, por así decirlo, $t\in [0, 1]$.

Después de una vuelta completa, el cambio en la integral (A) se convierte en

$$\etiqueta{F} I_{\Gamma_1,w_1}-I_{\Gamma_0,w_0} ~=~ \oint_{C(\xi(w_0))} \! d\zeta ~F_w(\zeta) ~=~ 2\pi i~Z_{w_0}, $$ donde $$\tag{G} Z_w~:=~{\rm Res}\left(F_{w},\zeta=\xi(w)\right), $$

cf. el teorema de los Residuos. Aquí $C(\xi(w_0))$ denota un simple contorno cerrado en el $\zeta$-plano orientado en sentido positivo alrededor del común de inicio y el punto final de $\xi(w_0)$ por la curva cerrada (E).

Insistimos en que el residuo (F) se toma en el común de inicio y el punto final de $\xi(w_0)$ para el cerrado monodromy de la curva (E), en lugar de la de punto final $\zeta_b$ de la integración abierta de contorno $\Gamma_0$, como el nombre de punto final singularidad , quizás ingenuamente, sugieren.

Referencias:

1. G. Sterman, Introducción a la QFT, 1993; p. 413-414.