Resumiendo $\frac{1}{a}-\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^9}-\cdots$

Question

Esta pregunta procede de temperatura en el centro de la esfera . Creo que es una buena idea extraer la esencia y publicar una pregunta matemática pura para atraer más pensamientos. Es un problema físico y los lectores interesados pueden ir al post original para encontrar detalles.

En cualquier caso, tras la simplificación, el valor deseado es $2 f(x)$

$$f(x)= - \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n e^{-x n^2}$$ Dejar $x = \pi^2 D t /a^2$ da la respuesta a la pregunta original. Si además dejamos que $e^{x} = a$ tenemos un problema de suma:

$$S=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a^{-n^2} = \frac{1}{a}-\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^9}-\cdots$$

$a > 1$ así que $S$ converge, pero no sé cómo sumarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Podemos escribir esta suma en términos de Función theta de Jacobi $\vartheta(z;\tau)$ en particular, creo que $$\vartheta(\tfrac12;\tfrac{ix}{\pi}) = 1 - 2f(x).$$ Eso no es una respuesta: es sólo decir "no sabemos cómo encontrar esta suma en términos de funciones que conocemos, así que le hemos dado un nombre a esta suma".

Pero quizá el artículo de Wikipedia que he enlazado te dé una idea de lo que se puede hacer con la función para encontrar las cosas que te interesan.