Es $f(x) = (x + 1)/(x +2)$ ¿una función?

Question

Mi libro de Matemáticas del Disco tiene el siguiente problema:

22. Determine si cada una de estas funciones es una biyección de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}.$

c) $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$

Es $f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ ¿incluso una función? Dado que un elemento del dominio no tiene imagen, a saber, cuando $x = -2$ .

Answer 1

La asignación que se especifica no puede ser una función $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ya que no está definido para $x=-2$ Es inyectiva en su dominio pero no en el onto ya que la ecuación $f(x) = 1$ es insolucionable. Sin embargo, es una biyección de $\mathbb{R}-\{2\}$ a $\mathbb{R}-\{1\}$ .

La especificación de una función debe incluir un dominio y un codominio. Este ejemplo muestra por qué debe hacerlo.

Answer 2

¿Qué es una función?

Una definición popular, que se puede trasladar directamente a la teoría de conjuntos, es que una función es un conjunto de pares de entrada/salida. Por ejemplo:

$f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$

podría representar el conjunto de pares:

• (-1, 0)
• (0, 1/2)
• (1, 2/3)

Pero también podría representar el conjunto de pares:

• (0, 1/2)
• (1, 2/3)
• (2, 3/4)

Ambas son dos funciones completamente diferentes.

Moral: una fórmula como $f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ es no una función.

Una fórmula + un dominio ( $\mathbb{R}-\{2\}$ aquí) puede representar una función si la fórmula está bien definida sobre el dominio.

Pero qué función realmente es, es el un conjunto de pares . Sólo hay que idear un método que describa claramente ese conjunto de pares.

Para su caso concreto, podría tomar el dominio como $\mathbb{R}-\{2\}$ y se especifica el conjunto de puntos.

Además, también podría añadir un nuevo par (-2, 1234) a la función, y tendrías una función definida sobre $\mathbb{R}$ .

También vale la pena señalar: en este caso no podemos hacer que la función sea continua eligiendo cualquier valor en -2 pero en algunos casos sí. Por ejemplo:

$f(x) = \frac{x}{x}$

puede hacerse continua en 0 añadiendo el par (0, 1).

La gran ventaja de esta definición teórica de conjuntos es que puede utilizarse fácilmente en los sistemas de pruebas formales: ¿Qué significa "formal"?