${n\choose1}+3{n\choose3}+5{n\choose5}+...$ en forma cerrada

Question

¿Cómo puedo evaluar ${n\choose1}+3{n\choose3}+5{n\choose5}+...$ en forma cerrada?

¿Teorema del binomio? ¿Es eso lo que debo usar? No estoy entendiendo bien esto.

Answer 1

Por el Teorema del Binomio, tenemos $$\frac{(1+x)^n -(1-x)^n}{2}=\binom{n}{1}x +\binom{n}{3}x^3+\binom{n}{5}x^5+\cdots .$$ Diferenciar con respecto a $x$ , y establecer $x=1$ .

Answer 2

SUGERENCIA:

$$(2r+1)\cdot \binom n{2r+1}=\frac{(2r+1)n!}{(2r+1)!(n-2r-1)!}$$

$$=\frac{(2r+1)n!}{(2r+1)\cdot (2r)!(n-1-2r)!}=n\cdot\binom {n-1}{2r}$$

Ahora, sabemos $(1+x)^{n-1}=\sum_{0\le r\le n-1}\binom {n-1}rx^r$

Poniendo $x=1,(1+1)^{n-1}=\sum_{0\le r\le n-1}\binom {n-1}r$

$x=-1\implies (1-1)^{n-1}=\sum_{0\le r\le n-1}\binom nr(-1)^r$

Añadiendo que obtenemos, $2^{n-1}=2\cdot \sum_{0\le r\le n-1}\binom {n-1}{2r}$