Los problemas sin el uso de multiplicadores de Lagrange

Question

Deje $M$ ser el valor máximo de $6x - 3y - 8z$ $2x^2 + 3y^2 +4z^2 = 1$

He aplicado CS y AM-GM pero no soy capaz de matar al problema. Para la prueba me estoy preparando para, no permite el uso de multiplicadores de Lagrange. Entonces, ¿hay alguna otra manera?

Answer 1

Conjunto $u=\sqrt2 \, x$, $v=\sqrt3 \, y$, $w=2 z$, para que usted obtenga una esfera $u^2+v^2+w^2=1$ en lugar de un elipsoide. Usted es capaz de utilizar de Cauchy–Schwarz ahora?

Answer 2

Por C-S $$6x-3y-8z\leq|6x-3y-8z|\leq\sqrt{(18+3+16)(2x^2+3y^2+4z^2)}=\sqrt37.$$ La igualdad se produce por $(\sqrt{18},\sqrt3,4)||(\sqrt2x,-\sqrt3y,-2z)$,

el que dice que $\sqrt37$ es de hecho un valor máximo.

Hecho!

Answer 3

Sugerencia: escriba $$6x-3y-8z=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}x-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}y-4\cdot2z$$