Importancia de la Pancharatnam–Fase de Berry

Question

Como yo lo entiendo, el Pancharatnam–fase de Berry surge la primera en la aproximación adiabática para la evolución de un estado cuántico. Para la evolución de un estado cuántico parametrizada por el conjunto de parámetros de $\lambda_i, i = 1, \dots, N$, si el estado evoluciona lentamente suficiente (los detalles de cuando la aproximación adiabática tiene yo no quiero entrar en), entonces la proyección de nuestro estado en el eigenbasis de nuestro Hamiltoniano mantiene como el estado evoluciona, además de una fase de factor.

Es decir, teniendo en cuenta algunas de estado inicial $$|\Psi(0)\rangle = \sum_k c_k|\phi_k(0)\rangle, $$ evolucionando de acuerdo a los dependientes del tiempo de Hamilton $H(\lambda(T))$,el estado en un momento posterior (cuando la aproximación tiene) será $$ |\Psi(t)\rangle = \sum_k c_k e^{i \gamma_k(t)}e^{i \theta_k(t)}|\phi(\lambda(t))\rangle. $$ Aquí $\theta_k(t) = i/\hbar\int_0^t E_n(\lambda(t'))dt'$ es la fase dinámica y $\gamma_k(t) =i \int_0^t \langle \phi_k(\lambda(t')) | \dot{\phi}_k(\lambda(t')) \rangle dt'$ es nuestra fase geométrica.

Si el cambio de nuestro sistema con el tiempo es periódica, usch que después de algún tiempo $T$ obtenemos $\lambda(T) = \lambda(0)$, luego la fase geométrica $\gamma_k(T) = \gamma_B$ se convierte en el Pancharatnam–fase de Berry. Es análoga para el transporte paralelo de un vector a lo largo de una esfera. Si no me equivoco, una de las características importantes de la fase de berry es su invariancia gauge.

Aquí es donde está mi pregunta: ¿por Qué es esto importante? ¿Por qué esta fase específica saliendo de periódico de la evolución que tienen tal importancia. Cómo podría esto ser más importante que la característica general de una fase geométrica en adiabático evoluciones? O lo importante de las aplicaciones y usos de la fase de Berry han venido?

Answer 1

El calibre de la invariancia de la fase de Berry $\gamma$ es sólo la manifestación de su interpretación geométrica. Simplemente hablando, la fase de $$ \tag 1 \gamma = \cualquier\limits_{C} d\mathbf \lambda\cdot \mathbf{A}_{\lambda}, \quad \mathbf{A}_{\lambda} = \langle\psi(\mathbf \lambda) |\frac{d}{d\mathbf \lambda}|\psi (\mathbf \lambda)\rangle $$ sólo depende de la geometría del espacio de los estados $|\psi(\mathbf \lambda)\rangle$ (precisamente, en el colector $M$ de los parámetros $\mathbf \lambda$ y en el $n$-dimensiones del espacio de los estados propios de $n$-dimensiones de hamilton $H$). Esto significa que cualquier camino que dependen de las variaciones de $\mathbf A_{s}$ contribuye a cero. Pero esto significa que cualquier variación $$ \tag 2 \mathbf{A}_{\lambda}\\mathbf{A}_{\lambda} + \frac{d}{d\mathbf \lambda}\theta(\mathbf \lambda) $$ (suponiendo que no es "grande"), sale de la fase de $(1)$ sin cambios.

A partir de este, en particular, claramente se deduce que el único caso en el que la fase de $\phi$ es no-cero es cuando la asignación de $M\to CP^{n-1}$ donde $M$ es el colector de la $\mathbf{\lambda}$ en los estados $\psi$ $CP^{n-1}$ es el espacio de definido el modulo de la fase de autoestados de $n$-dimensiones complejas de hamilton, no puede ser continuamente deforma para la asignación de $M\to S^{2n-1}$ donde $S^{2n-1}$ es el espacio de la unidad de autoestados con la fase fija. En efecto, si la elevación se puede realizar, entonces podemos definir multiplicar el estado de $|\psi\rangle$ en la fase continua factor de $e^{i\theta(\mathbf \lambda)}$, $$ |\psi(\mathbf \lambda)\rangle \e^{i\theta(\mathbf{\lambda})}|\psi(\mathbf \lambda)\rangle $$ de modo que la fase de $(1)$ desaparecerá de forma idéntica. Pero esto corresponde a la transformación de $(2)$. El resto no trivial de la Baya de conexión de $\mathbf A_{\lambda}$ es un polo como el campo y no puede ser eliminada por el buen fase.

Como para las aplicaciones, no estoy familiarizado con la física del estado sólido tanto (donde, estoy seguro, la fase de Berry se utiliza con frecuencia para describir muchos fenómenos), por lo que la única aplicación que me puede decir usted es el semiclásica descripción de la quirales anomalía por la fase de Berry. La descripción se basa en el hecho de que para 2-dimensional Weyl fermiones en presencia de campos EM la anomalía se rompe estructura simpléctica de la misma manera como la fase de Berry (porque de polo en la expresión de la Baya de conexión).