Pregunta sobre los colectores y las transformaciones de coordenadas

Question

Conozco la definición de una colector diferenciable y que las funciones de transición:

$$\psi_{a} \circ \psi_{b}^{-1}$$

$$\psi_{b} \circ \psi_{a}^{-1}$$

son la forma de construir la noción de transformación de coordenadas (cambio de cartas).

Pero incluso después de leer los libros de Wald, Sean Carroll y Nightingale, lamentablemente no entendí por qué realizamos transformaciones de coordenadas como:

$$\displaystyle V'^{a} = \frac{\partial x'^{a}}{\partial x^{b}}V^{b}$$

Es decir, no he "conectado" la noción abstracta de transformación de coordenadas por las funciones de transición con la noción de transformación de coordenadas por derivadas parciales. Además, sé que las funciones $\psi$ son diferenciables, pero ¿por qué, a priori, queremos diferenciar entonces?

Answer 1

Supongamos que $\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ es una función gráfica. Si $p\in M$ es un punto, entonces escribimos $$ \varphi(p)=(x^1(p),...,x^n(p)), $$ así que $\varphi$ como local $\mathbb{R}^n$ -es igual a $n$ local $\mathbb{R}$ -funciones valoradas, que son las funciones de coordenadas de la carta.

En consecuencia (y porque $\varphi$ es invertible), la función inversa viene dada por $\varphi^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow M$ (Estoy abusando de la notación, porque normalmente no se mapea de todo $\mathbb{R}^n$ interpretado como una función parcial). Es valor en un determinado $n$ -se describe como $$ \varphi^{-1}(x^1,...,x^n). $$ Aquí vuelvo a abusar de la notación, porque el $x^\mu$ s son ahora variables en $\mathbb{R}^n$ . No estoy seguro de cuál es el origen y el tema de su confusión exactamente, pero supongo que tiene algo que ver con esto. Utilizamos $x^\mu$ tanto como una función (local) de $M$ a $\mathbb{R}$ y como coordenada/variable dentro de $\mathbb{R}^n$ .

También podemos decir que $$ p=\varphi^{-1}(x^1(p),...,x^n(p)) $$ y aquí estamos no lo hizo notación de abuso.

Ahora dejemos que $\psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n$ sea también una función gráfica, y supongamos que $U\cap V\neq\emptyset$ . Para facilitar la notación, reduciré $U$ y $V$ ambos para que coincidan, y sólo usaré $U$ para ambos dominios de coordenadas.

Podemos escribir $$ \psi(p)=(y^1(p),...,y^n(p)) $$ por lo que las funciones de coordenadas de $\psi$ se denotan ahora con $y$ . La afirmación inversa es $$ p=\psi^{-1}(y^1(p),...,y^n(p)), $$ así que una vez más abusamos de la notación y pensamos en la función inversa $\psi^{-1}$ como la función del variables $y^1,...,y^n$ .

Con estas anotaciones, la función de transición $\psi\circ\varphi^{-1}$ es un $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ cuyo valor en un elemento dado de su dominio puede escribirse como $$ (\psi\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)=(y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)),...,y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)))=(y^1(x^1,...,x^n),...,y^n(x^1,...,x^n)). $$

Aquí, en la última ecuación, cometimos un atroz abuso de la notación, y "se olvidó de" $\varphi^{-1}$ - simplemente vimos la función de transición $\psi\circ\varphi^{-1}$ como una relación funcional entre el variables dependientes $y^\mu$ y el variables independientes $x^\mu$ .

Este abuso de la notación es muy común en la geometría diferencial, incluso entre los matemáticos. Porque incluso las cosas sencillas serían más o menos inabarcables, si utilizáramos una notación muy pedante.

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Sobre la pregunta en sí: La respuesta óptima depende de cómo te guste pensar en los vectores tangentes. Normalmente se trata de derivaciones puntuales en el anillo de funciones suaves, por ejemplo, mapas de la forma $ f\mapsto v(f)\in\mathbb{R} $ tal que este mapa es $\mathbb{R}$ -y satisface $$ v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g), $$ o como vectores tangentes a curvas, en cuyo caso existe una relación de equivalencia entre las curvas suaves que pasan por $p$ .

La conexión entre ambos puede venir dada por lo siguiente: Si $\gamma$ es una curva suave en $M$ , pasando por $p$ en $t_0$ y $f$ es una función suave definida en una vecindad abierta que contiene $p$ entonces el vector tangente de la curva $\gamma$ en $p$ viene dada por el derivación (en $p$ ) descrito como $$ v(f)=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}. $$ Además, se puede demostrar que todo derivaciones surgen de esta manera.

Usaré esto como ejemplo, porque es muy fácil examinar el comportamiento de los componentes vectoriales de esta manera.

Porque $\varphi^{-1}\circ\varphi=\text{Id}$ la función de identidad, podemos escribir $$ \left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}. $$

Pero lo que es $f\circ\varphi^{-1}$ ? Es el función multivariable que mapea el $x$ -coordenadas a números en lugar de puntos abstractos $p$ . Y qué es $\varphi\circ\gamma$ ? Es el $\mathbb{R}^n$ -curva valorada $(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$ (¡advertencia! ¡Un fuerte abuso de la notación aquí!) que describe una familia de un parámetro de $x$ -coordenadas en lugar de abstractas $p$ -¡puntos!

En particular, podemos utilizar la regla de la cadena habitual del cálculo ordinario para evaluar esta derivada, y obtenemos $$ \left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}\frac{d (x^\mu\circ\gamma)}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{dt}, $$ donde 1) todas las derivadas se evalúan cuando es necesario, 2) en la última ecuación hicimos un abuso masivo de la notación una vez más, 3) la convención de la suma está en efecto.

Pero esto es por supuesto $v(f)$ para que podamos "desacoplar" $f$ a partir de esto, y escribir $v$ como $$ v=\frac{d x^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial x^\mu}. $$ Una vez más, el $t$ -derivada se evalúa en el lugar correcto, y lo notamos rigurosamente, $\partial/\partial x^\mu$ no es una derivada parcial, sino una derivación que actúa tomando la derivada parcial de la función $x$ -representación de coordenadas (!!!) (así $\partial/\partial x^\mu$ actúa sobre $f$ pero el derivadas parciales reales actuar $f\circ\varphi^{-1}$ ). Aquí podemos escribir $$ v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}, $$ donde $v^\mu=dx^\mu/dt|_{t=t_0}$ y llamamos al $v^\mu$ los componentes de $v$ en el gráfico $\varphi$ .

También podemos comprobar que $$ \frac{\partial}{\partial x^\mu}(x^\nu)=\frac{\partial (x^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=\delta^\nu_\mu, $$ por lo que tenemos $$ v^\nu=v(x^\nu). $$

Podemos entonces preguntarnos cuáles son los componentes de $v$ con respecto a las coordenadas $y$ ? Evaluamos $$ v(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial(y^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=v^\mu\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}, $$ donde la última ecuación es, esencialmente, un abuso de la notación.

Answer 2

(Esta respuesta supone que conoces la geometría diferencial y sólo quieres saber cómo el físico obtiene esa expresión).

Dejemos que $V,W\subset\mathbb{R}^n$ y $\psi : V\to U$ y $\phi : W\to U'$ ser gráficos para $U,U'\subset M$ en algún colector $M$ . Entonces el "cambio de coordenadas" en $U\cap U'$ es la función de transición $$ \phi^{-1}\circ \psi : V\to W.$$ Esta función induce un mapa natural entre vectores tangentes, el pushforward $$ \mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi) : TV\to TW,$$ que es el Jacobiano de la transformación, es decir, en cada punto $x\in V$ tenemos $$ \mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi)_x : T_xV\to T_xW, v\mapsto J(\phi^{-1}\circ\psi)(x)\cdot v.$$ Escrito en las coordenadas estándar del $\mathbb{R}^n$ ambos $V$ y $W$ son subconjuntos de, el jacobiano es precisamente la matriz con componentes $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$ que preguntas, donde $x' = \phi^{-1}\circ \psi$ .

Queremos que las funciones $\psi$ sean diferenciables precisamente porque queremos que den este mapa entre vectores tangentes. Si los mapas no son diferenciables, no hay mapa natural inducido en los vectores tangentes.

Answer 3

Recordemos que si $X$ es un espacio vectorial con base $(e_1,\ldots,e_n)$ y la correspondiente base dual $(e^1,\ldots,e^n)$ entonces $w = e^i(w)e_i$ para todos $w\in X$ .

Esto lo aplicamos para cada espacio tangente de la variedad. La base es $(\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n)$ y el dual es $(dx^1,\ldots,dx^n)$ . Lo que significa que $V^a=dx^a(V)$ . De la misma manera, $V^{'a}=dx^{'a}(V) $ . Ahora, la regla de la cadena dice que $$dx^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} dx^b , $$ de donde se aplica todo en $V$ da $$V^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} V^b, $$ como se quería.