Calcular el límite de $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n$

Question

NOTA: L'Hôpital y desarrollo en serie de Taylor no permitido!

Tomando el registro y exponenting toda la cosa llego $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\ln\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\ln\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}-1+1\right)\cdot\frac{\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}-1}{\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}-1}}.$$

Dejando $k=\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}-1$ vemos que el lado derecho se puede simplificar

$$\lim_{n\rightarrow\infty}e^{nk\frac{\ln\left(k+1\right)}{k}}.$$

De ello se desprende que $k\rightarrow0$ $n\rightarrow\infty,$ $\ln(k+1)/k$ tiende a $1$ (límite estándar). Así que podemos escribir

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(e^{k})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{e^{k}-1+1}{k}\cdot k\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{e^k-1}{k}\cdot k+1\right)^n=(1 \cdot0+1)^n=1.$$

La respuesta debería ser $\sqrt{a}.$ ¿por Qué es mi método de malo?

Answer 1

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}\right)^{\frac{2}{\sqrt[n]{a}-1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt[n]a-1}{\frac{1}{n}}}=e^{\frac{1}{2}\ln{a}}=\sqrt{a}$$

He utilizado el siguiente.

Sabemos que $\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}\rightarrow0$$n\rightarrow+\infty$.

Por lo tanto, si $\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}=y$$(1+y)^{\frac{1}{y}}\rightarrow e$.

Además, sabemos que el $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1$.

Por lo tanto, $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]a-1}{\frac{1}{n}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x\ln{a}}-1}{x\ln{a}}=\ln{a}.$$

Answer 2

Dejando $\frac{1}{n}=x$, y observando \begin{eqnarray} &&\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(\frac{1+a^{\frac1n}}{2}\right)}{\frac1n}\\ &=&\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(\frac{1+a^{x}}{2}\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+\frac{a^{x}-1}{2}\right)}{x}\\ &=&\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+\frac{a^{x}-1}{2}\right)}{\frac{a^{x}-1}{2}}\frac{\frac{a^{x}-1}{2}}{x}\\ &=&\frac{1}{2}\ln a, \end{eqnarray} uno tiene $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n=\sqrt a. $$ Aquí $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$$ se utilizan.

Answer 3

Como regla general, si $a_n$ es una secuencia tal que $\lim_{n\to\infty} n(a_n-1)=b$$\lim_{n\to\infty} a_n^{n}=e^b$.

He probado el caso en $b=0$ en esta respuesta.

El caso de general $b$ es un corolario, dejando $a_n'=\frac{a_n}{1+b/n}$. Entonces:

$$n(a_n'-1)=\frac{n(a_n-1)-b}{1+b/n}\to 0.$$

Así que el hecho de que $a_n'^n\to 1$$a_n^n\to e^b$.

Por lo que usted necesita para encontrar $\lim_{n\to\infty} n\cdot \frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}.$ es la mitad de la derivada de $a^x$$x=0$,$\frac{1}{2}\log a$.

Answer 4

Para

La respuesta debería ser $\sqrt{a}$. ¿Por qué es mi método de malo?

Tu error está en $$\lim_{n \to \infty} \exp\left(nk\dfrac{\ln(k+1)}{k}\right)= \lim_{n \to \infty} \exp\left(nk\right)$$

Aquí se utiliza $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+ 1)}{x} = 1$. Si escribimos el paso intermedio que se ha perdido, a continuación,

$$\lim_{n \to \infty} \exp\left(nk\dfrac{\ln(k+1)}{k}\right)=\exp\left({\lim_{n \to \infty} nk} \lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln(k+1)}{k}\right) = \lim_{n \to \infty} \exp\left(nk\right)$$

$\lim_{n \to \infty} nk$ es un límite de la forma $0 \cdot \infty$ que es una forma indeterminada, por lo que no se puede utilizar el producto de los límites es el límite de producto (uno de los límites en que el producto no está definida).

Answer 5

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{a}}{2}\right)^n =\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(n\ln \left(1+\frac{\sqrt[n]{un}-1}{2}\right)\right) \\=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(n\frac{\sqrt[n]{un}-1}{2}\frac{\ln \left(1+\frac{\sqrt[n]{un}-1}{2}\right)}{\frac{\sqrt[n]{un}-1}{2}}\right) \\=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(n\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}\right)\\=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\frac{1}{2}\frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\right) \\=\lim_{h\rightarrow0}\exp\left(\frac{1}{2}\ln\right) =\sqrt$$

Dado que $$\color{red}{\lim_{n\to \infty}\frac{\ln \left(1+\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}\right)}{\frac{\sqrt[n]{a}-1}{2}} = 1~~~since ~~\lim_{X\to 0}\frac{\ln(X+1)}{X} = 1}$$ y por el Hospital de la regla, $$\color{blue}{\ln a =(\ln a\cdot a^h)|_{h=0}= \frac{d}{dh}(a^h)|_{h=0} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{h}-1}{h}} $$