Calcular la suma de los valores inversos de ${n\choose 0}, {n\choose 1}, ... {n\choose n}$

Question

Calcular $$A={1\over {n\choose 0}}+ {1\over {n\choose 1}}+ ...+{1\over {n\choose n}}$$

y

$$B={1\over {n\choose 0}}- {1\over {n\choose 1}}+ ...+{(-1)^n\over {n\choose n}}$$

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Mi idea para $A$ es un razonamiento probabilístico. Colorea los conjuntos $$\{\}, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\},...\{1,2,...,n\}$$ y preguntarnos cuál es la probabilidad de que elija un conjunto de color entre todos los conjuntos. Está claro que esto es exactamente ${n+1\over 2^n}$ y en el otro lado está $A$ :

la probabilidad de que tome el conjunto vacío es ${1\over {n\choose 0}}$ ,

La probabilidad de que tome un conjunto coloreado con 1 elemento es ${1\over {n\choose 1}}$

La probabilidad de que tome un conjunto coloreado con 2 elementos es ${1\over {n\choose 2}}$

y así sucesivamente...

Así que $A ={n+1\over 2^n}$ . Pero no tengo ni idea de cómo atacar $B$ .

Answer 1

Un buen momento para explotar la belleza de Euler Función beta . $$\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{\binom{n}{k}}&=&(n+1)\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{\Gamma(n+2)}\\&=&(n+1)\sum_{k=0}^{n}(-1)^kB(k+1,n-k+1)\\&=&(n+1)\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k (1-x)^k x^{n-k}\,dx\\&=&(n+1)\int_{0}^{1}(-1)^n(1-x)^{n+1}+x^{n+1}\,dx\\&=&\color{blue}{\frac{n+1}{n+2}((-1)^n+1)}.\end{eqnarray*}$$

Answer 2

He encontrado la solución, aunque no es la mía. Escribe $${n\choose k}' := {(-1)^k\over {n\choose k}} $$

Entonces es fácil demostrar $${n\choose k+1}'-{n\choose k}' =-{n+1\over n}{n-1\choose k}'$$ por lo que tenemos: \begin {eqnarray} B&=& \sum _{k=0}^n {n \choose k}' \\ &=&-{n+1 \over n+2} \sum _{k=0}^n \Big [ {n+1 \choose k+1}'-{n+1 \choose k}' \Big ] \\ &=& -{n+1 \over n+2} \Big [ {n+1 \choose n+1}'-{n+1 \choose 0}' \Big ] \\ &=& -{n+1 \over n+2} \big ( (-1)^{n+1}-1 \big ) \\ &=& {n+1 \over n+2} \big ( (-1)^n+1 \big ) \\ \end {eqnarray}