7 votos

Demostrar propiedades de los anillos

Ninguno de estos son completas y estoy buscando un poco de orientación.

  1. En cualquier anillo si $ab=-ba$$(a+b)^2=(a-b)^2=a^2+b^2$.

Así, suponiendo $ab=-ba$ para ser verdad, entonces el cuadrado ambos lados da $(ab)^2=(-ba)^2$, es decir,$abab=-ba-ba$. No todos los anillos son conmutativas en virtud de la multiplicación, así que no sé si se puede asumir que el $abab =aabb=a^2b^2$.

  1. En cualquier integral de dominio, si $a^2=b^2$ $a=\pm b$

No estoy seguro de cómo la integral de dominio juega un papel en esto? Algo que ver con no tener divisores de cero estoy seguro de que, posiblemente, que no hay dos elementos multiplicados juntos va a dar cero, a menos que uno de los elementos es cero? Así que solo tienes que tomar la raíz cuadrada

  1. En cualquier integral de dominio, sólo 1 y -1 son sus propios inversos multiplicativos.

Debemos tener un anillo conmutativo con unidad, así tenemos un inverso multiplicativo. Podemos suponer que 1 y -1 son los inversos?

  1. En cualquier integral de dominio, si $a^n=0$ para algunos entero$n$$a=0$.

Solo de pensar, la única vez que nada a una potencia es cero es al $0^n$ donde $n\neq 0$, lo $a$ debe ser 0.

3voto

cronos2 Puntos 82

1-

$$ (a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2, (a-b)^2 = a^2 - ab - ba + b^2 $$

2-

$$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 0 $$

3 - caso de donde 2 $b = 1$

4 - demuestre que el $a^2 = 0 \iff a = 0$ y proceder con la inducción.

Espero que esto ayude.

2voto

Michael Rozenberg Puntos 677

$ $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2$ $ $$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2+b^2.$ %#% $ $$(ab)^2=abab=-baab=-ba^2b=a^2bb=a^2b^2$ #% $ El %#% $ #% %, $$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2=a^2+2ab-b^2.$y desde aquí no podemos conseguir $$a^2+a^2=(a+a)(a+a)=a^2+a^2+a^2+a^2.$ para el anillo de todos.

2voto

Robert Lewis Puntos 20996

1:

$(a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2; \tag 1$

$(a - b)^2 = a^2 -ab - ba + b^2 = a^2 - ab + ab + b^2 = a^2 + b^2; \tag 2$

2:

$(a - b)(a + b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2 = 0, \tag 3$

que funciona desde integral dominios son conmutativas. Ahora si

$a \ne b, \tag 4$

entonces

$a - b \ne 0, \tag 5$

obligando a

$a + b = 0 \tag 6$

o

$a = -b; \tag 7$

así

$a = \pm b. \tag 8$

3:

Si

$a = a^{-1}, \tag 9$

entonces

$a^2 = 1, \tag{10}$

o

$(a - 1)(a + 1) = 0; \tag{11}$

ahora en una parte integral de dominio, si $a - 1 \ne 0$, (11) implica

$a = -1; \tag{12}$

así

$a = \pm 1. \tag{13}$

4:

Por último, si $a \ne 0$,

$a^n = 0 \Longrightarrow a(a^{n - 1}) = 0 \Longrightarrow a^{n - 1} = 0; \tag{14}$

un simple argumento inductivo ahora nos permite concluir que

$a = 0; \tag{15}$

es decir, si por alguna $k \in \Bbb N$,

$a^k = 0 \Longrightarrow a = 0, \tag{16}$

entonces

$a^{k + 1} = 0 \Longrightarrow a(a^k) = 0 \Longrightarrow a^k = 0 \Longrightarrow a = 0. \tag{17}$

1voto

mfl Puntos 11361

Sugerencia

  1. Tenga en cuenta que $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2.$ si $ab+ba=0$ entonces...
  2. $a^2=b^2\implies b^2-a^2=0\implies (b-a)(b+a)=0\implies ...$ (uso que el anillo es un dominio integral).
  3. Tenemos que $2$ $a^2=1\implies a=\pm 1.$
  4. $a^n=0\implies a=0$ (si $n=1$) y $a^n=0\implies aa^{n-1}=0$ (si $n\ge 2$) desde donde... (uso de que el anillo es un dominio integral).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X