Encontrar $x\in \mathbb R$resolver $x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}$

Question

Da: $x\in \mathbb R$, $x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}$

Buscar: valor numérico del $x$

Problema de un concurso de matemáticas. Lo siento si es un duplicado, pero no pudo encontrar nada similar usando la herramienta de búsqueda.

Mi intento: Había cuadrado ambos lados y desarrolló la expresión resultante, pero estoy recibiendo a ninguna parte.

Sugerencias o respuestas por favor.

¿Hay alguna forma estándar a los problemas de enfoque como estas?

Answer 1

Sabemos que la proporción áurea $\phi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ $~\bar{\phi}= \frac{1 -\sqrt5}{2}$ satisfacer la ecuación $$x^2 = 1+x \Longleftrightarrow x= \sqrt {1 + x}~~x>0~ \implies x= f(x)$$ where, $f(x)= \sqrt {1 + x},~~x>0.$ Esto significa que $ \phi $ es la única revisión de los puntos de la función de $f(x)= \sqrt {1 + x},~x>0$

Pero $$ \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt{1+x}}} = f\circ f\circ f= f^3(x) .$$ Por lo tanto su ecuación es $$x= f^3(x)$$

que es $x$ es fijar punto de $f^3$. Por otro lado, $|f'(x)| =\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \le \frac12$ a continuación,

$$(f^3(x))' = 3|f'(x)\cdot f'(f^2)(x)| \le \frac 34<1$$

a continuación, $f^3$ es una contracción que es $f^3$ tiene un único punto fijo de la satisfacción de $x=f^3(x)$ por lo tanto,

$$ \color{red}{x= f^3(x) \implies f(x) = f^3(f(x)) \implies x= f(x) }$$

desde que observ que $f(x)$ es también un punto de revisión de $f^3$ por la unicidad? llegamos $x=f(x).$

Pero $\phi $ es el único número positivo satisfacer $x=f(x)$.

Por lo tanto, $$x=\phi = \frac{1+\sqrt5}{2}~$$

Answer 2

Claramente, cualquier solución de la ecuación dada es un número real positivo.

Lema. El mapa de $x\mapsto \sqrt{1+x}$ es una contracción de más de $[0,+\infty)$, ya que para cada $x\geq 0$ tenemos $\frac{d}{dx}\sqrt{x+1}\leq\frac{1}{2}<1$.

Corolario. Por el punto fijo de Banach Teorema, $x=\sqrt{1+x}$ tiene una única solución real. Simple álgebra da que dicha solución es proporcionada por la proporción áurea $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Lema. Desde $f(x)$ es una contracción de más de $[0,+\infty)$, $f(f(f(x)))$ es una contracción a fortiori.

Corolario. Por el punto fijo de Banach Teorema, la ecuación tiene una única solución real. $x=\varphi$ es una solución, por lo tanto es el único.

Answer 3

Básicamente la solución es única (que puede encontrar usted mismo). Luego hay otra función tiene la misma solución a este:

$x=\sqrt{1+x} $

Hecho