Demuestre que existen dos números naturales consecutivos tales que la suma de todos los dígitos de cada número es múltiplo de$2017$.

Question

Esta es una pregunta en el concurso.

Demuestre que existen dos números naturales consecutivos tales que la suma de todos los dígitos de cada número es múltiplo de$2017$.

Mi solución: tomo$a = \underbrace{9\dots 9}_{224}0\underbrace{9\dots 9}_{k}$ de modo que$2017$ dividido$9\times 224 + 9k$ (al menos, uno puede tomar$k=2017-224=1793$) y, por supuesto,$a+1 = \underbrace{9\dots 9}_{224}1\underbrace{0\dots 0}_{k}$ que tiene suma de dígitos $2017$.

Mi pregunta: No creo que sean el par más pequeño, pero no puedo encontrar otra solución más pequeña. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Deje $\Sigma_n$ la suma de los dígitos decimales de $n$. Entonces

$$\Sigma_{n+1}=\Sigma_{n}+1-9T_n$$ where $T_n$ es el número de trailing nueves (porque en cascada lleva a sustituir a finales todos los nueves por ceros).

Los más pequeños de soluciones de $9T_n-1=2017k$ es, de hecho, $T_n=1793$ y no puede evitar todos estos nueves.

Como la suma de estos dígitos es $1\mod 2017$, de un total de $2016=9\cdot224$ falta. Usted no sólo puede preprend estos $224$ nueves, debido a que más lleva. Basta dividir los últimos nueve para evitar eso, y la mejor manera es mediante el movimiento de una unidad delante.

El smalles par es así

$$1\underbrace{9\dots 9}_{223}8\underbrace{9\dots 9}_{1793}\to9\cdot2017$$

$$1\underbrace{9\dots 9}_{223}9\underbrace{0\dots 0}_{1793}\to1\cdot2017$$

Answer 2

De su ejemplo, obtuve lo siguiente:

ps

ps

Obtuve uno más pequeño de la misma manera que arriba:

ps

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