Si y cuando un sistema lineal tiene exactamente tres soluciones

Question

¿El siguiente sistema tiene exactamente tres soluciones? $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y +3z = 1 \\ x + 4y - 2z = -7 \\ 3x + y -z = 4 \\ \end{array} \right.$$

He marcado esta respuesta como Verdadera. Me puse a la fila de reducir y obtenido de la matriz resultante como -

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1/2 & 3/2 & 4 \\ 0 & 1 & 9 & 13/9 \\ 0 & 0 & 1 & 10/28 \\ \end{array} \right]$$

Estoy bastante seguro de que he cometido algunos errores mientras la fila-la reducción de la misma. He contestado a esta pregunta en un examen de configuración. Entonces me dio la explicación de la manera sig -

Formulario de reducción de la fila, sabemos que el sistema es consistente y el rango de la matriz es 3, que es igual al número de variables. Así, el sistema de ecuaciones tiene 3 soluciones distintas.

Alguien puede señalar dónde me salió mal?

Answer 1

SUGERENCIA: El sistema de ecuaciones lineales puede tener solo 0, 1 o infinitamente muchas soluciones. Por lo tanto, no se necesitan cálculos.

Answer 2

Usando la reducción de fila puede mostrar que$x=7/4$,$y=-25/8$ y$z=-15/8$. Puede usar incluso la regla de Cramer para calcular la solución única usando la matriz$A$ dada por$$A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-1&3\\ 1&4&-2\\ 3&1&-1\end{array}\right)$ $ y$\det(A)=-32\neq 0$ y esto implica que el sistema tiene una solución única para cualquier vector de términos independientes.

Answer 3

Comience con la matriz ampliada:

\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 2&-1&3 &: 1\\ 1&4&2&:-7\\ 3&1&-1&:4\end{array}\right) \end{eqnarray}

Primero: el Intercambio de las filas 1 y 2 para obtener:

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 2&-1&3 &: 1\\ 3&1&-1&:4\end{array}\right)$$

Segundo: Utilizar el primer elemento de la primera fila como un pivote para eliminar el 2 y 3 de la primera columna para obtener:

$$ \left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&-9&7 &: 15\\ 0&-11&5&:25\end{array}\right) $$

A continuación, puede reemplazar Row2 por Row2-Fila3 para obtener:

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&2&2&: -10\\ 0&-11&5&:25\end{array}\right)$$

a continuación, puede dividir por 2 el Row2 para obtener:

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&1&1&: -5\\ 0&-11&5&:25\end{array}\right)$$

A continuación, puede eliminar el -11 en la tercera fila:

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&1&1&: -5\\ 0&0&16&:-30\end{array}\right)$$

Por lo $z=\frac{-30}{16}=\frac{-15}{8}$. Debido a que usted tiene el equivalente augmentedmatrix

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&1&1&: -5\\ 0&0&1&:-\frac{15}{8}\end{array}\right)$$

Para obtener $y$ simplemente reemplazar Row2 con Row2-Fila3 y se obtiene:

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&4&-2&:-7\\ 0&1&0&: -5+\frac{15}{8}\\ 0&0&1&:-\frac{15}{8}\end{array}\right)$$

y $y=-5+\frac{15}{8}=\frac{-40+15}{8}=\frac{-25}{8}$. Os dejo $x$ para calcular.