La suma de dos raíces de la unidad tiene un poder real

Question

Aquí hay un resultado aleatorio que surgió como un efecto secundario de algo con lo que estaba jugando, que tiene una buena prueba:

Supongamos que$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ satisface$\alpha^m = 1$,$\beta^n = 1$ para algunos$m, n \in \mathbb{N}^+$. Pruebalo $(\alpha + \beta)^{mn} \in \mathbb{R}$.

Entonces, decidí publicar el problema aquí por si acaso alguien lo encontrara interesante.

Answer 1

Probablemente el método más fácil de seguir es el primer render $\alpha$ $\beta$ como vectores en el plano complejo, cada uno con una unidad de magnitud. Entonces la resultante tendrá la forma

$\alpha+\beta=r\exp(i\theta)$

donde $\theta$ está a medio camino entre los argumentos de $\alpha$$\beta$. Ahora, el argumento de $\alpha$ $(2k\pi)/m$ otro $\beta$ $(2l\pi)/n$ $k,l$ tanto en números enteros, por lo $\theta=((kn+lm)\pi)/(mn))$. Puesto que en de $\theta$ en la ecuación anterior, elevar a la potencia de $mn$ y observar que el "complejo" factor exponencial se convierte en $\pm 1$.

Answer 2

Muy bonito, gracias. Sin embargo supongo que este hecho necesario para que se muestren en la etapa temprana de la prueba de construibles de polígonos. Después de todo, están mostrando que la middlepoint (en el círculo) de los vértices de un $n$-agon y un $m$-agon es ideed vértice de una $nm$-agon. Por otra parte un poco más fuerte la versión de que podría dar una construcción de la que genera (en $\mathbb{S}^1$) de los dos grupos cíclicos como una especie de (normalizada) de la suma de los dos grupos. Esta no es una respuesta pero quería compartir estas geométrica y algebraica de las interpretaciones. Gracias