Estoy tratando de resolver un problema a partir del Capítulo 5 ("Grados, la Intersección de los Números y de la característica de Euler") de Hirsch del libro "topología Diferencial". Va como esto:
"Vamos a $f_1,\dots,f_n$ ser real polinomios en $n\geq 2$ variables. Escribir $f_k=h_k + r_k$ donde $h_k$ es un polinomio homogéneo de grado $d_k\geq 2$ $r_k$ tiene grado menor. Suponga que $x=(0,\dots,0)$ es la única solución a $h_1(x)=\dots=h_n(x)=0$. Suponga también que el $\det(\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(x))\neq 0$ a todos los distinto de cero $x\in \mathbb{R}^n$. Entonces el sistema de ecuaciones $f_1=\dots=f_n=0$ tiene una solución en $\mathbb{R}^n$.
Sugerencia: Use el ejercicio anterior."
He hecho el ejercicio anterior. Se afirma que si $f: U\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R^n}$ es un buen $\mathcal{C}^1$ mapa tal que $\det(Df_x)$ no cambia de signo exterior de algunas conjunto compacto (y no es idénticamente cero), $f$ es surjective.
Yo no estoy en busca de una solución para el ejercicio, pero una buena pista sobre cómo utilizar este lema sería muy apreciada.
He tratado de modificar adecuadamente los morfismos $f=(f_1,\dots,f_n)$ ( e $h$ ) en uno, pero no tuvo éxito.
