¿Cuánto más pequeño es el conjunto de cocientes que el conjunto de pares ordenados?

Question

Para los números enteros $a, b$ con $0 < a < N$ y $0 < b < N$ para algún número entero $N$ , dejemos que $\{(a, b)\}$ sea el conjunto de todos sus pares ordenados y sea $\{\frac{a}{b}\}$ sea el conjunto de todos sus cocientes.

Claramente, $|\{\frac{a}{b}\}| < |\{(a, b)\}|$ (el número de relaciones posibles es menor que el número de pares ordenados posibles), ya que por ejemplo $\frac{2}{1} = \frac{4}{2}$ pero $(2, 1) \neq (4, 2)$ .

Mi pregunta es: ¿cómo mucho más pequeño es $|\{\frac{a}{b}\}|$ que $|\{(a, b)\}|$ , ya que $N \to \infty$ ?

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Este es mi enfoque hasta ahora: para cualquier $b$ podemos determinar cuántos $a$ s se "eliminan". Por ejemplo, si $b=2$ entonces $a=2, 4, 6, \ldots$ se eliminan todos (porque $\frac{2}{2}=\frac{1}{1}, \frac{4}{2}=\frac{2}{1}, \frac{6}{2}=\frac{3}{1}, \ldots$ ). Así que cuando $b=2$ , $|\{\frac{a}{b}\}| = (1 - \frac{1}{2}) |\{(a, b)\}|$ . Las primeras relaciones de este tipo $r$ son:

$b = 1 \implies r = 1$

$b = 2 \implies r = \frac{1}{2}$

$b = 3 \implies r = \frac{1}{3}$

$b = 4 \implies r = \frac{1}{2}$

$b = 5 \implies r = \frac{1}{5}$

$b = 6 \implies r = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$

$b = 7 \implies r = \frac{1}{7}$

En otras palabras, encontramos los factores primos $p_1, p_2, \ldots$ de $b$ y que reduce $|\{\frac{a}{b}\}|$ por $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \ldots - \left(\frac{1}{p_1}\right) \left(\frac{1}{p_2}\right) - \ldots$

Por lo tanto, queremos saber la media $r$ para todos $b$ (como $b \to \infty$ ). ¿Nos ayuda esto?

Answer 1

Utilizaré límites inclusivos, por lo que $1 \leq a, b \leq n$ .

$|\{\frac{a}{b}\}|$ es el número de pares coprimos $1 \leq a, b \leq n$ . Esta es la secuencia OEIS A018805 . Para los grandes $n$ se observa que tenemos $\text{A018805(n)} \approx \dfrac{6}{\pi^2} n^2$ .

$|\{a, b\}|$ es el número de pares $1 \leq a, b \leq n$ . Esto es simplemente $n^2$ .

Así que su densidad asintótica es la fracción de estas dos, dando simplemente $\dfrac{6}{\pi^2} \approx 0.60793$ .