¿Dónde necesitamos el axioma de elección en la geometría de Riemann?

Question

Un amigo mío es geómetra diferencial y sigue insistiendo en que no necesita el axioma de elección para las cosas que hace. Estoy bastante seguro de que eso no es cierto, aunque no he indagado en los detalles de la geometría de Riemann (ni en el análisis real en el que se basa, ni en la topología, ni en la teoría de los espacios vectoriales, etc...) para tratar de encontrar un teorema o una construcción que utilice el axioma de elección, o una de sus equivalencias lógicas.

Entonces, ¿conoces algún resultado de la geometría de Riemann que necesite el axioma de elección? Deben estar ahí en alguna parte, particularmente sospecho que uno o más están escondidos en los resultados básicos de topología que uno utiliza.

Answer 1

Es muy posible que tu colega evite en general utilizar el axioma de elección, porque los colectores son objetos relativamente concretos. Suponiendo que tu amigo estudie sólo variedades separables, o mejor aún, sólo compactas, eso permite hacer muchas construcciones de forma muy explícita, sin utilizar el axioma de elección. Esto es similar a la forma en que varios principios de análisis que requieren el axioma de elección en general no requieren el axioma de elección cuando se aplican a los espacios euclidianos.

Así que tienes razón en que puede ser más fácil encontrar AC en los resultados de fondo. El problema es que muchos de estos resultados de fondo se estudian con mucha más generalidad de la que se utiliza. Por ejemplo, supongamos que un analista utiliza el hecho de que $[0,1]\times[0,1]$ es compacto. Este hecho se deduce del teorema de Tychonoff, que para los espacios topológicos generales requiere el axioma de elección. Pero podríamos demostrar la compacidad del cuadrado unitario de forma más directa, evitando el axioma de elección por completo (esto se basa en la separabilidad del cuadrado, en particular).

Así que a veces se utiliza el axioma de elección por comodidad, mediante la invocación de un resultado muy general, pero podría evitarse si fuera necesario. Si estudiáramos sólo las variedades lisas que ya han sido incrustadas en el espacio euclidiano, sospecho que podríamos hacer prácticamente todo en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección. Pero habría que prestar mucha atención a las pruebas para asegurarse de que sustituimos las técnicas basadas en la elección por métodos alternativos.

Sé que esto no es una respuesta directa a la pregunta, pero creo que es relevante ya que explica una advertencia con las posibles respuestas: que un resultado general requiera CA no significa que se requiera CA para todas las consecuencias de ese resultado.

Answer 2

Tu amigo probablemente se escabullirá de este ejemplo alegando que no es estrictamente geometría "riemanniana", pero definitivamente es geometría diferencial. El ejemplo es el teorema de Hodge, que afirma que cada clase de cohomología de una variedad riemanniana está representada por una única forma armónica (donde "armónica" es con respecto al operador de Laplace-Beltrami). Dudo mucho que se pueda elaborar una prueba sin un análisis funcional razonablemente serio; el enfoque estándar utiliza la teoría elíptica y la teoría de Sobolev, que requiere el teorema de Banach-Alaoglu, que a su vez requiere el teorema de Tychonoff. En general, apostaría a que cualquier resultado que implique la teoría de las EDP geométricas (incluidos algunos resultados, por ejemplo, de la teoría de superficies mínimas que son realmente riemmannianos) va a exigir el axioma de elección en algún nivel.

Aparte de eso, podría consultar la obra de Alexander Nabutovsky. Ha obtenido algunos resultados realmente serios sobre la estructura de las geodésicas y sobre el espacio de moduli de las métricas riemannianas utilizando técnicas de la lógica y la teoría de la computabilidad.

Answer 3

Me parece que el Teorema de Arzelà--Ascoli necesita al menos alguna forma débil de elección. (He empezado una pregunta de MO para aclarar esto). Se utiliza a menudo en geometría; por ejemplo, para garantizar la existencia de geodésicas minimizadoras que conectan pares de puntos.

Editar: Ver la respuesta de Andrés Caicedo en MO (en el enlace anterior). La respuesta es afirmativa. Además, la lista de equivalentes de la base de datos que menciona contiene algunos enunciados de aspecto muy inocuo que apuesto a que tu amigo nunca ha pensado dos veces en utilizar.