Estoy desconcertado por la intuición detrás del siguiente hecho:
Si$P(A) \neq 0$ y$P(B) \neq 0$, entonces$P(B|A) \geq P(B)$ es equivalente a$P(A|B) \geq P(A)$.
Esto es bastante fácil de mostrar por definición de probabilidad condicional, pero me gustaría tener algún tipo de intuición geométrica detrás de esto.
Puedo crear imágenes de ejemplo positivas, pero ninguna que me muestre por qué debe contener esta declaración.
Agradecería mucho ayuda. Gracias
Ambas afirmaciones están diciendo que $P(A \cap B) \ge P(A)\cdot P(B)$. Tenga en cuenta que $P(A)\cdot P(B)$ corresponde a $P(A \cap B)$ si $A$ $B$ eran independientes. Por lo tanto $P(A \cap B) \ge P(A)\cdot P(B)$ significa que existe alguna correlación positiva (en sentido figurado) entre estos dos eventos.
Por otro lado, la frase que siempre cop en mi mente cuando estoy hablando acerca de la probabilidad condicional se están cambiando su universo. $P(X|Y)$ significa que usted está buscando en $P(X)$ en un universo diferente, es decir,$Y$. Dado que existe una correlación positiva entre estas dos, es lógico que $P(A|B) \ge P(A)$. Esto es debido a que estamos cambiando nuestro universo a $B$, y ya sabemos que $B$ tiene una correlación positiva con $A$, esto significa que en este nuevo universo, somos más propensos a ver a $A$. Este es simétrica en $A$ $B$ del curso.
No sé si esta es la intuición suficiente.
General intution respuesta: Habiendo $P(A | B) > P(A)$ es una indicación de que $A$ $B$ están positivamente correlacionados, es decir, ocurren más con frecuencia juntos. A partir de esta noción, que debe ser natural que si $A$ ha sucedido, $B$ es más probable.
Intuición geométrica respuesta: Si hablamos de esto en un Diagrama de Venn contexto, a continuación, la declaración de $P(B | A) > P(B)$ significa que los eventos de $A$ $B$ han pesado se superponen. Aquí están algunos mal dibujado MSPaint imágenes para explicar lo que quiero decir:
Aquí, estoy suponiendo que (1) los Diagramas de Venn siempre han áreas corresponden a las probabilidades (que por supuesto no es cierto), y (2) que mis dibujos son realmente preciso, lo que es probablemente falso. Pero el espíritu de los dibujos es: el juego superior han independiente de eventos, para que el área de intersección es "proporcional" para el caso de las probabilidades. En concreto, la proporción es
$$\frac{|A \cap B|}{|A|} = \frac{|B|}{|\Omega| = 1}$$
que es, evidentemente, un apenas velados versión de la original probabilística de la declaración. En el caso superior, las imágenes (supuestamente) "proporcional intersecciones" de esta manera; en la parte inferior de imágenes, el solapamiento es mayor que la proporción prescrita. Creo que este "cruce de proporcionalidad" podría ser el tipo de geométrica quid de la cuestión que usted está preguntando acerca de.
En primer lugar, tenga en cuenta que este teorema es equivalente a
Si $P(A) \neq 0$ $P(B) \neq 0$ y $$P(B|A) \geq P(B), \tag{1}$$ then $$P(A|B) \geq P(A).\tag{2}$$
porque usted puede intercambiar $A$ $B$ en el teorema para obtener la dirección (2) $\Rightarrow$ (1).
La vida Real de la intuición (también conocido como inferencia Bayesiana):
Considere la posibilidad de una cosa $B$ que es más probable que cuando usted sabe $A$ sucede que cuando no sabes si $A$ sucede. Matemáticamente, esto es condtion (1). Ahora bien, si observas $B$, es en realidad la evidencia de $A$. Que matemáticamente significa (2).
Ejemplo:
Usted sabe que amañado dados tienden a dar $6$s más a menudo de lo que la feria de dados. Escoge un morir a encontrar en algún lugar. Como realmente no he encontrado que muchos significativamente aparejado dados en su vida, pero he visto bastantes casi feria de dados, inicialmente se piensa que su morir es probable que cerca de la feria. Tirar el dado 20 veces y observe 20 seises. ¿Qué deducir? Empezar a pensar que el morir es muy probablemente manipuladas.
Matemáticamente: Vamos a $A$ ser el caso de que el morir es significativamente amañado, y $B$ ser el caso de que usted obtenga un 20 seises en una fila. El efecto que amañados dados dar más seises de la feria de dados significa $P(B|A)>P(B)$. Antes de observar los tiros, creo que la probabilidad de que el dado está amañado es $P(A)$, que es muy pequeño. Pero una vez que vea los tiros, creo que la probabilidad es $P(A|B)$. La nueva probabilidad es mucho mayor, lo que significa que $P(A|B)>P(A)$. El hecho de que la nueva probabilidad es mucho mayor fue basado en su conocimiento que el $P(B|A)>P(B)$.
Voy a tratar de dar un "cuasi" interpretación geométrica - un "conjunto" de la interpretación. Se trata de extraer una carta de una 3-baraja de cartas. Las cartas están firmadas con $A$, $B$ y $C$. Entonces me pregunto: cual es la probabilidad de elegir a $A$ de la baraja?
La piscina de tus posibilidades es:
$$\{A, B, C \}.$$
Luego, por supuesto,$P(A) = 1/3$. Pero si puedo decir que ya he seleccionado una carta de la baraja, y esta tarjeta es $B$, luego la piscina de posibilidades para que usted es ahora:
$$\{A, C\},$$
a la derecha? En este caso, la probabilidad de que usted consigue $A$ es:
$$P(A | B) = 1/2.$$
Como Abhiram Natarajan (+1) dijo, cuando se desea calcular una probabilidad condicional, entonces usted está cambiando a mejor, que están reduciendo el universo de su posibilidad, y por lo tanto las probabilidades debe ser mayor (o igual) a la simple. El universo ha cambiado debido a algo que ya sucedió antes de tomar una carta de la baraja.
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