Qué $e^{AB}=e^{BA}$ implican $AB=BA$?

Question

Deje $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Es cierto que $e^{AB}=e^{BA}$ implica $AB=BA$? Si no, ¿puede dar un ejemplo contrario?

Answer 1

No necesariamente. Usted puede encontrar $A$, $B$, $2\times 2$ matrices con entradas real tal que $$AB - BA = \left(\begin{matrix} 0 & - 2 \pi \\ 2\pi & 0 \end{de la matriz} \right)$$

Entonces $$e^{AB-BA} = \left(\begin{matrix} \cos 2\pi & - \sin 2 \pi \\ \sin 2\pi & \cos 2 \pi \end{de la matriz} \right)= I_2$$ and so $e^{AB} = e^{BA}$ ( cheating a bit here, since we need $AB$, $AB$ desplazamientos, pero ver detalles más abajo).

$\bf{Added:}$ Aquí están los detalles:

Tomar $$A= \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{de la matriz} \right)\\ B= \left(\begin{matrix} 0 & -\pi \\ -\pi & 0 \end{de la matriz} \right)\\ $$

Entonces $$AB = \left(\begin{matrix} 0 & -\pi \\ \pi & 0 \end{de la matriz} \right)\\ BA= \left(\begin{matrix} 0 & \pi \\ -\pi & 0 \end{de la matriz} \right)\\ $$

Tenemos $e^{AB} = e^{BA}= -I_2$.