¿Cuál es la forma cerrada para $\displaystyle\sum_{m,n = - \infty}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m^2 + mn+41n^2}$?

Question

Omitiendo el caso de $m = n = 0$, si,

$$ \sum_{m,n = - \infty}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m^2 + 58 n^2} = - \frac{2\pi \ln\big(\tfrac{5 + \sqrt {29}}{\sqrt2}\big)}{\sqrt {58}} $$

como en este post, es,entonces,

$$ \sum_{m,n = - \infty}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m^2 + mn+ 41 n^2} = - \frac{2\pi \ln\big(\beta\big)}{\sqrt {163}} $$

para algunos algebraicas número $\beta$? Si sí, entonces, ¿qué es $\beta$?

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P. S. por cierto, tenemos la aproximación,

$$e^{\pi\sqrt{58}} \approx \Big(\tfrac{5 + \sqrt {29}}{\sqrt2}\Big)^{12} +23.999999988776\dots$$

y el "exceso" de cerca de $24$ tiene que ver con la Dedekind eta función.

Answer 1

La clave aquí es un resultado que va por el nombre de Kronecker el segundo límite de la fórmula. El uso de la formulación dada en Wikipedia se puede demostrar que la suma deseada en cuestión es igual a $$-\frac{2\pi\log|2g^{4}(q)|} {\sqrt{163}} $$ where $q=\exp(\pi i\tau), 2\tau=1+i\sqrt{163}$ and $$g(q) =2^{-1/4}q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})$$ With some manipulation it can be shown that the above sum is equal to $$-\frac{\pi\log(2G_{163}^{4})}{\sqrt{163}}$$ The value of $$G_{163}=\frac{6+\sqrt[3]{135-3\sqrt{489}}+\sqrt[3]{135+3\sqrt{489}}} {3\sqrt[4]{2}} $$ es (o no tanto) bien conocidos y de los cálculos se explicó anteriormente se puede realizar con una razonable cantidad de mano de obra para obtener una forma cerrada para la suma en cuestión.

Answer 2

Parece que podemos conseguir una estética resumen el uso de Ramanujan $g_n$ $G_n$ funciones (también a través de la Weber modular funciones) como,

$$ \sum_{p,q = - \infty}^{\infty}\, \frac{(-1)^p}{p^2 + n q^2} = - \frac{\pi \ln{\big(2\,g^4_n\big)}}{\sqrt {n}} $$

$$ \sum_{p,q = - \infty}^{\infty}\, \frac{(-1)^p}{p^2 + pq+ k q^2} = - \frac{\pi \ln{\big(2\,G^4_n\big)}}{\sqrt {n}} $$

donde $n=4k-1$ $G_n$ y,

$$g_n =2^{-1/4}\,\frac{\eta\big(\tfrac12\sqrt{-n}\big)}{\eta\big(\sqrt{-n}\big)}$$ y, $$G_n = 2^{-1/4}\,\frac{\eta^2\big(\sqrt{-n}\big)}{\eta\big(\tfrac12\sqrt{-n}\big)\,\eta\big(2\sqrt{-n}\big)}$$

con Dedekind eta función de $\eta(\tau)$.

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Por ejemplo,

$$g_{58} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{29}}2} =2.27872\dots $$ $$G_{163} = 2^{-1/4}x =4.47241\dots$$ con $x$ como la verdadera raíz de la $x^3-6x^2+x-2=0$. Por cierto,

$$e^{\pi\sqrt{163}}\approx x^{24}-24.00000000000000105\dots$$