¿Hay una interpretación combinatoria de números triangulares?

Question

El triangular de los números de contar el número de elementos de un triángulo con $n$ elementos de un lado, como este:

Esto puede ser calculado exactamente por la fórmula $T_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} = {n+1 \choose n-1}$.

Es allí cualquier combinatoria interpretación a esa fórmula, como en alguna manera de interpretar la organización de los objetos en forma de triángulo con $n$ en un lado como el número de formas de elegir 2 o $n-1$ objetos de una colección de $n+1$ objetos?

Answer 1

Imaginar una fila de $n{+}1$ botones debajo del triángulo (como una fila extra). Luego de que dos de los botones de seleccionar que se designe un punto del triángulo, y cada punto del triángulo puede ser identificado con un par de botones:

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Edición: David K notas en los comentarios que de una distancia en ruta triángulo es una aplicación práctica de esta idea. Elija dos lugares, tras la lectura de la distancia en el punto de intersección del triángulo. Adaptado ligeramente de la imagen:

Answer 2

Considerar un conjunto de $n$ de la gente, cada apretón de manos el uno con el otro. Cuántos apretones de manos hay? Hay $\binom{n}{2}$ pares de personas, por lo que hay $\binom{n}{2}$ apretones de manos.

Ahora imagine que la persona $1$ va abajo de la línea de otras personas y se sacude las manos con todo el mundo. A continuación, la persona $2$ va abajo de la línea, el apretón de manos con todo el mundo pero la persona $1$ (puesto que ellos ya han dado la mano). Repita hasta que cada persona tiene un estrechón de manos con todos los demás.

A continuación, la persona $1$ estrecharon las manos con $n$ de la gente, persona $2$ estrecharon las manos con $n - 1$ de la gente, y así sucesivamente, para un total de $\sum_{k=1}^{n-1}k$ apretones de manos.

Por lo tanto, $\binom{n}{2} = \sum_{k=1}^{n-1}k$.

Answer 3

Aquí está una combinatoria prueba de la identidad $$ 1+2+\dotsb+n=\binom{n+1}{2}. $$ El RHS cuenta el número de dos elementos, subconjuntos de a $\{0,1,\dotsc,n\}$. Deje $S _k$ ser esos dos elementos, subconjuntos del conjunto anterior con mayor elemento $k$$k=1,\dotsb, n$. A continuación, el $S _k$ particionar el conjunto de dos elementos y subconjuntos de a $\{0,1,\dotsc,n\}$. Además, $|S _k|=k$. A contar de esta manera se obtiene el lado izquierdo.

Este argumento se puede generalizar para obtener la identidad $$ \sum_{i=0}^n \binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1} $$ por la clasificación de los $k+1$-elemento de subconjuntos de a $\{0,1,\dotsc, n\}$ basado en su elemento más grande.

Answer 4

Alinear todas las filas de un triángulo a la columna de la derecha.
Mark $(n+1)$-elementos de la fila de abajo del triángulo, del mismo modo alineado al margen derecho.

Todos los pares de $(n+1)$-elementos del conjunto están integradas por:

• la vinculación del primer elemento con cada uno de los restantes $n$ elementos (los que están marcados con puntos en la parte más inferior de la fila),
• el emparejamiento el segundo elemento con el resto de los $n-1$ elementos con el primero ya excluidos (que es lo que la segunda fila inferior muestra),
• el próximo emparejamiento con el tercer tema, con todos los remainig $(n-2)$ artículos
• ...y así sucesivamente,
• hasta la fila superior, lo que representa un par de los dos últimos elementos del conjunto.

Esta mapas bijectively puntos en cada una de las $n$-triángulo en dos elementos de los subconjuntos de un $(n+1)$-elementos del conjunto.