Si se define un polinomio $f(z) = az^2 +bz +c$ (donde $z \in \mathbb C$),
a continuación, $$f(z) = a(z - p)^2 - \frac{\Delta}{4a},$$
donde $p = -\frac{b}{2a}$ $\Delta = b^2 - 4ac.$
Si $a,$ $b,$ y $c$ son todos los reales, entonces $p$ $\Delta$ son reales.
De ello se desprende que $f(x)$ es real si, y sólo si $(z-p)^2$ es real.
Esto puede suceder de dos maneras:
$z-p$ es real, o $z - p$ es puramente imaginario.
En el caso de que $z-p$ es real, podemos establecer $z = x$ donde $x\in\mathbb R,$
y usted puede trazar $y = f(x)$ $x\in\mathbb R$ como la pregunta
ha hecho por $a=1,$ $b=-4,$ y $c=13.$
Obtenemos una parábola con vértice en las coordenadas
$\left(p, - \frac{\Delta}{4a}\right).$
En el caso de que $z - p$ es puramente imaginario,
podemos establecer $z = p + ix$ donde $i$ es la unidad imaginaria y
$x\in\mathbb R.$
Entonces
\begin{align}
f(z) &= a(p + ix)^2 + b(p + ix) + c \\
&= ap^2 + i2apx + i^2 ax^2 + bp + ibx + c \\
&= \frac{b^2}{4a} - ibx - ax^2 - \frac{b^2}{2a} + ibx + c \\
&= - ax^2 - \frac{b^2}{4a} + c \\
&= - ax^2 - \frac{\Delta}{4a} \\
\end{align}
Si establecemos $g(x) = - ax^2 - \frac{\Delta}{4a},$
podemos trazar $y = g(x)$ en un plano Cartesiano;
es una parábola con vértice en
$\left(0, - \frac{\Delta}{4a}\right),$
orientado en una dirección opuesta a la de la parábola, tenemos
para valores reales de $z.$
Así que imagina que queremos trazar $y = f(z)$ sobre el plano complejo,
pero sólo para los valores de $f(z)$ que son puramente real.
Podemos visualizar en tres dimensiones:
dos dimensiones de la parcela el complejo valor de entrada, $z,$
y una dimensión de la parcela el verdadero valor de salida $y.$
Si escribimos $z = u + iv$ podemos describir este espacio tridimensional
por las coordenadas $(u,v,y).$
La gráfica resultante se compone de sólo dos parábolas:
la parábola de $y = f(x)$ donde $x$ es real,
presentado como el complot $y = f(u)$ $u,y$ plano;
y la parábola de $y = g(x),$ traducido $p$ unidades en el
$u$ dirección y rotación de la $90$ grados alrededor de la línea $u = p,$ $v=0$
(una línea a través de $(p,0,0)$ paralelo a la $y$ eje)
por lo que se encuentra en el plano de la $u = p.$
Es decir, las parábolas tienen el mismo vértice,
$\left(p, 0, - \frac{\Delta}{4a}\right),$
y el mismo eje, la línea de $u=p,$ $v=0,$
pero están en planos perpendiculares.
En otra respuesta a esta pregunta,
esta misma parcela es "aplanado" en dos dimensiones por la rotación de
el "imaginario" de la parábola por $90$ grados alrededor de su eje.
Ahora, dependiendo de si $\frac{\Delta}{4a}$ es positivo o negativo,
nos tienen en común el vértice de las parábolas, ya sea por debajo o por encima de la
$u,v$ plano, y tenemos dos ceros en la parte superior de una parábola o
dos ceros a la baja de la parábola.
Que se traduce en dos ceros en la línea $v=0,y=0$
(dos soluciones reales de $f(z) = 0$)
o dos ceros a la línea de $u=p,y=0$
(dos soluciones complejas conjugadas de $f(z) = 0$).
Cuál de estos pares corresponde a la parte superior parábola y que a la baja de la parábola depende del signo de $a.$
Por supuesto, si $\frac{\Delta}{4a} = 0$ entonces tenemos la doble raíz de $z = p.$
