Delimitación de una serie: $\frac{\pi}{2} < \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{3\pi}{2} $

Question

Tengo el siguiente instrucción

$$\frac{\pi}{2} < \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2 + 1} < \frac{3\pi}{2} $$

Por lo que he intentado probar esta afirmación mediante la integral de la prueba y con éxito resultó el límite inferior. Pero cuando traté de calcular el límite superior estaba obligado a calcular la integral de -1 - $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 +1}\,dx$. Si alguien puede explicar por qué va a ser genial , gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2 + 1}= \sum_{n=0}^\infty\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n^2+1}dx>\sum_{n=0}^\infty\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^2+1}dx=\int_{0}^\infty\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}. $$ También se nota $$ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}=1+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2 + 1}<1+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}=1+\frac{\pi^2}{6}<\frac{3\pi}{2}. $$ Así $$ \frac{\pi}{2}<\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}<\frac{3\pi}{2}. $$

Answer 2

Tenemos:

$$ -1+2\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n^2+1}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+1}\color{red}{=}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\pi e^{-2\pi|n|}=\pi\coth(\pi) \tag{1}$$

donde $\color{red}{=}$ mantiene por la sumación de Poisson fórmula. Desde $\coth(\pi)>\pi$ pero $\coth(\pi)<\pi+e^{-\pi}$,

$$ \frac{\pi+1}{2}<\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n^2+1}<\frac{\pi+1+e^{-\pi}}{2}.\tag{2}$$

Answer 3

Tal vez es interesante ver que podemos encontrar directamente una forma cerrada para esta serie ya tiene $$\sum_{n\geq0}\frac{1}{1+n^{2}x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2x}\textrm{coth}\left(\frac{\pi}{x}\right) $$ hence $$\sum_{n\geq0}\frac{1}{1+n^{2}}=\frac{1}{2}\left(1+\pi\coth\left(\pi\right)\right)\approx2.0767.$$

Answer 4

En el intervalo de $(-1,0)$ está disminuyendo, por lo que esto no funciona. En su lugar, tenemos que decir que el límite superior es $\frac{1}{0^1+1}=1$ en el intervalo de $(-1, 0)$ y, a continuación, añadir que a la integral de la $0$$\infty$, con lo que obtenemos: $$\int_{-1}^0 \frac{1}{0^1+1}dx+\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}dx$$ Esto debería darte $\frac{3\pi}{2}$ como límite superior.

Answer 5

Para una función decreciente $f$$[0,\infty)$, tenemos $$ f(0)+f(1)+\dots+f(m-1)\ge\int_0^m f(t)\,dt $$ Desde $f(t)=\frac{1}{t^2+1}$ ha $$ f'(t)=\frac{-2t}{(t^2+1)} $$ cual es negativo para $t>0$, podemos concluir $$ \sum_{n=0}^{m-1}\frac{1}{n^2+1} \ge \int_0^{m} \frac{1}{t^2+1}\,dt $$ y, pasando al límite $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\ge \int_{0}^\infty\frac{1}{t^2+1}\,dt=\frac{\pi}{2} $$ Del mismo modo, hemos $$ f(1)+f(2)+\dots+f(m)\le\int_0^m f(t)\,dt $$ así $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\le\frac{\pi}{2} $$ y por lo tanto $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\le1+\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2} $$

Vemos que no fue suficiente para eliminar el primer término, con el fin de aplicar el límite superior de la integral.