¿Cómo funciona Tor y el Tensor de la functor interactuar?

Question

Así que me he topado con esta pregunta, mientras que haciendo algunos cálculos y no estoy seguro de si lo que estoy tratando de mostrar es cierto. Asumir los tensores son más de $\mathbb{Z}$, es

$\mathrm{Tor}(A,\mathrm{Tor}(B,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})) = \mathrm{Tor}(A,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \otimes \mathrm{Tor}(B,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$

y

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \otimes \mathrm{Tor}(B,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathrm{Tor}(B,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$

En otras palabras, ¿ Tor absorber los tensores con "razonablemente amable' $\mathbb{Z}$-módulos. Si no puede un simple contador de ejemplo?

Answer 1

La segunda afirmación es verdadera sólo porque $Tor(B,\mathbb Z/p)$ es aniquilada por $p$ (ya que uno de sus argumentos es), y un $\mathbb Z$-módulo aniquilado por $p$ es la misma cosa que un $\mathbb Z/p$-módulo, que luego no cambia cuando el tensor de con $\mathbb Z/p$.

Como para la primera declaración, como ya se ha señalado, $Tor(B,\mathbb Z/p)$ $\mathbb Z/p$- módulo, y así podemos pedir más en general, si $M$ $\mathbb Z/p$- módulo, hay un isomorfismo $Tor(A,M) \cong Tor(A,\mathbb Z/p) \otimes M?$ Ahora un módulo sobre $\mathbb Z/p$ es sólo un espacio vectorial, por lo que es una suma directa de copias de $\mathbb Z/p$. Desde $Tor$ viajes directos con sumas, en efecto, hay un isomorfismo; por lo tanto la primera declaración es verdadera.