$$\int_{0}^{1}{x^n-1 \over \ln(x)}dx=\ln(n+1)$$
Vamos a tratar el caso de $n=1$
$$I=\int_{0}^{1}{x-1 \over \ln(x)}dx=\ln(2)$$
$u=\ln(x)$ $\rightarrow du=\frac{1}{x}dx$
$x \rightarrow 1 ,u=0$
$x \rightarrow 0, u=-\infty$
$$I=-\int_{0}^{\infty}\frac{e^{2u}-e^u}{u}du$$
Aplicar la integración por partes
$$I=\left.(e^{2u}-e^u)\ln(u)\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}(2e^{2u}-e^u)\ln(u)du$$
Dejar
$$J=\int_{0}^{\infty}(2e^{2u}-e^u)\ln(u)du$$
La aplicación por las partes de nuevo
$$J=\left.(2e^{2u}-e^u)\ln(u)\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}(2e^{2u}-e^u)\frac{1}{u}du$$
De todos modos me salto la simplificación y llegar al resultado
$$2I=\left.e^{2u}\ln(u)\right|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{2u}}{u}du$$
Que no le parecía correcto!
Integración por partes y sustitución parecen fracasado aquí para mí, así que lo que es otro método para evaluar esta integral?
Otro intento de con $x^n-1=\sum_{k=0}^{n-1}(x-1)x^k$
$$\int_{0}^{1}{x^n-1 \over \ln(x)}dx=\ln(n+1)$$
$$\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{1}{(x-1)x^k \over \ln(x)}dx=\ln(n+1)$$
Esto es todavía implican la Integración por partes, estoy muy seguro de que va para largo, así que estoy parada aquí para ayudar. Por favor, préstame una mano, gracias.
Aquí hay un enlace a Frullani la fórmula de
