Prueba de Vandermonde la Identidad de la utilización de un "enfoque diferente" a la utilización de complejos de integración

Question

Hola me gustaría saber si la siguiente prueba de Vandermonde de la Identidad es correcta (es muy fácil):

Deje $m,n,r$ ser números naturales tales que $r\le \min \{m,n\}$. El Vandermonde de la Identidad nos da ese $$ \binom{m+n}r = \sum_{k=0}^r \binom mk \binom n{r-k} $$

$\bf{Solution}$ Deje $\gamma$ ser el círculo unidad $\lvert z\lvert =1$. Ahora desde $${m \choose r}= \frac{1}{2\pi i}\int _{\gamma}\frac{(1+z)^m}{z^{r+1}} dz$$

Entonces

\begin{align} 2\pi i \binom{m+n}r= \int _{\gamma}\frac{(1+z)^{m+n}}{z^{r+1}} dz &= \int _{\gamma}\frac{(1+z)^{n}}{z^{r+1}}\sum_{k=0}^m {m \choose k}z^k \,dz\\ &= \sum_{k=0}^m { m\choose k}\int_\gamma \frac{(1+z)^n}{z^{r-k+1}} dz \\ &= \sum_{k=0}^m 2\pi i { m\choose k} {n\choose r-k} \end{align}

Para todos los $k>r$, podemos establecer ${n\choose r-k}=0$, es decir, el lado izquierdo es cero y que implican el deseo de identidad

$$ \binom{m+n}r = \sum_{k=0}^r \binom mk \binom n{r-k} $$

Gracias :)

Answer 1

Para mantener la pregunta sin respuesta de la lista. Sí, su enfoque es correcto.

Véase el Análisis Complejo de la prueba de multinomial expresión de algo en el mismo espíritu.