Demostrar un límite inferior para $\sum_{i=1}^n i^2$

Question

Demostrar que $$\sum_{i=1}^n i^2 \geq \frac{n^3}{3}$$ for all $n \geq 1.$

Lo que yo sé: sé que el formato básico de cómo hacer una prueba con la base y el paso inductivo, pero estoy seguro de cómo probar esta declaración en particular y expandirla. Esta es una de las estructuras de datos de la clase por el camino. Mi intento ha sido hasta ahora el $1^2 + 2^2 +\cdots+n^2$ $i^2$ ampliado. ¿Alguien puede proporcionar una idea o un enlace a ejemplos similares en cómo ir sobre la estructuración de esto?

Muchas gracias de antemano estoy muy perdido y no has tomado una clase de pruebas antes, así que todo es nuevo para mí.

Answer 1

Ya que parece que quieres hacer esto mediante la inducción (hay maneras más fáciles ya que la gente, como se mencionó, no es un cerrado fórmula para su suma), he aquí un ejemplo detallado. (Por supuesto, usted podría establecer la fórmula de la gente son lo que sugiere que la inducción por de todos modos, por lo general.)

Para el caso base, usted tiene $n=1$. A la izquierda $$ \sum_{i=1}^n i^2 = \sum_{i=1}^1 i^2 = 1. $$ A la derecha, $$ \frac{n^3}{3} = \frac{1}{3}. $$ Así que, de hecho, su desigualdad se cumple para el caso de $n=1$.

Asumir entonces que la desigualdad se cumple para algún entero positivo $k$, es decir, asumir, $$ \sum_{i=1}^k i^2 \geq \frac{k^3}{3}. $$ Ahora, queremos mostrar que si asumimos este hecho, entonces la desigualdad se mantenga por $k+1$. Así, examinar la $k+1$ de los casos y tratar de utilizar nuestra hipótesis inductiva:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1} i^2 &= \left( \sum_{i=1}^k i^2 \right) + (k+1)^2 &(\text{Pulling term out of sum}) \\ &\geq \frac{k^3}{3} + (k+1)^2 &(\text{Ind. Hyp}) \\ &= \frac{k^3 + 3k^2 + 6k + 3}{3} &(\text{Common denominator}) \\ &\geq \frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{3} &(\text{Taking away some positive terms})\\ &= \frac{(k+1)^3}{3}. \end{align*}

Esta es la desigualdad que quería. Así, si la afirmación es verdadera para $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ entonces es cierto para$k+1$. Dado que ya se demostró que es cierto para $n=1$, tenemos que es verdadera para todos los enteros positivos $n$.

Answer 2

La suma $$\sum_{k=1}^n k^2$$ es el superior de la suma de Riemann para la integral $$\int_0^n x^2\, dx$$ para una partición con $n$ de igual tamaño de los intervalos. Por lo tanto $$\sum_{k=1}^n k^2 \ge \int_0^n x^2\, dx = {n^3\over 3}.$$

Answer 3

El lado izquierdo de la ecuación se puede simplificar $\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) = \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$. Sustituyendo esto en, usted sólo tiene que demostrar que $\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \geq 0$, lo cual es cierto para cualquier entero positivo $n$ (o número real positivo).

Answer 4

Es suficiente para demostrar que, para cualquier $n\geq 1$:

$$n^2+2n+1=(n+1)^2\color{red}{\geq} \frac{(n+1)^3-n^3}{3} = \frac{3n^2+3n+1}{3} = n^2+n+\frac{1}{3}$$ que es bastante trivial.

Answer 5

He aquí otra forma de mirarlo.

Supongamos que supongo que $s(n) =\sum_{i=1}^n i^2$ crece algo como $n^3$. Se conjetura que $s(n) \ge cn^3$ para algunos positivos $c$.

Para $n=1$, esto se convierte en $1 \ge c$, para la inducción del caso base vale para cualquier $c \le 1$.

Supongo que esto tiene para $n$, así que $s(n) \ge c n^3$. Ahora quiere demostrar que esto es para $n+1$, de modo que $s(n+1) \ge c(n+1)^3$.

Desde $s(n+1) = s(n)+(n+1)^2$, necesitamos encontrar un valor de $c$ tal que $s(n) \ge cn^3$ implica que $s(n+1) \ge c(n+1)^3 $.

Las identidades básicas necesarias se que $s(n+1)-s(n) =(n+1)^2 $ y $(n+1)^3-n^3 =3n^2+3n+1 $. Como queremos $s(n+1) \ge c(n+1)^3 $, el uso de las identidades, este es el mismo como $s(n)+(n+1)^2 \ge c(n^3+3n^2+3n+1) $. Ya que estamos suponiendo que $s(n) \ge cn^3 $, este es implícita por $cn^3+(n+1)^2 \ge c(n^3+3n^2+3n+1) $, o $n^2+2n+1 \ge c(3n^2+3n+1) $ o $n^2(1-3c)+n(2-3c)+(1-c) \ge 0 $.

La manera más fácil de hacer que esto suceda es de tener todos los los coeficientes de $\ge 0$. Resulta que $c=\frac13$ es el valor más grande que funciona para todos los tres.

Por lo tanto, hemos demostrado que si $s(n) \ge \frac{n^3}{3}$, entonces $s(n+1) \ge \frac{(n+1)^3}{3} $.

Finalmente, desde $s(1) \ge \frac13 $, $s(n) \ge \frac{n^3}{3} $ holds for all $$n y hemos terminado.