¿Hay un análogo de la funda universal para grupos de homotopía altos?

Question

La universalización de la cobertura $U$ a de un espacio topológico $X$ es simplemente conectado a cubrir el espacio de $X$. Como el 'universal' apodo lo indica, este espacio es universal en la categoría de cubrir espacios de $X$ (y por lo tanto es único hasta homeomorphism), y gratamente, hay una libre y fiel grupo de acción de $\pi_1(X)$ $U$ con el espacial en órbita $U/\pi_1(X) \cong X$.

Pregunta: ¿hay más dimensiones analógica de un espacio con todas o algunas de estas propiedades? Claramente una cubierta no es suficiente, pero no todos los espacios tienen, digamos, un haz de fibras más de lo que s $n$-conectado (me siento como si esa es la generalización más que trivial $\pi_n$, por el motivo que sea) y, lo que es más importante (para mí), es universal en algún sentido? Tenemos un análogo de la acción del grupo que teníamos para nuestra cobertura universal? Si es así, ¿qué otras agradables propiedades de la universalización de la cobertura transer a esta generalización?

EDIT: Para que quede claro, esto es lo que quiero.

• Para cada una de las $n$, un mapa de $U_n(X): \textbf{Top} \rightarrow \textbf{Top}$ ...
• $U_1(X) = \tilde X$, la cobertura universal de $X$
• $U_n(X)=X$ si $X$ $n$- conectado.
• $U_n(X)$ es universal en algún lugar apropiado.
• No estoy seguro de fibrations son la herramienta adecuada para ello, pero me gustaría $U_n(X)$ fibra $X$. Estoy bastante seguro de que esto nos da functoriality de $U_n$, pero yo no trabajo fuera de los detalles.

Yo tal vez destacó demasiado el grupo de acción; que sería interesante que si un análogo existido por $U_n$, pero no tengo la pretensión de que así debe de ser.

Answer 1

No sé si el siguiente califica pero espero que sea de ayuda. (EDIT: después de la OP aclaró su pregunta, parece que esta respuesta no califican, pero he decidido dejar la respuesta aquí de todos modos en caso de que alguien gana algo de ella.)

Cada espacio $(B,\ast)$ encaja en un fibration secuencia $\Omega B\to PB\stackrel{p}{\to} B$ donde $PB$ es el espacio de las rutas de $\gamma\colon [0,1]\to B$ $\gamma(0)=\ast$ $\Omega B$ es el espacio de bucles en $B$$\ast$. Damos a estos espacios el compacto-abierta de la topología. El mapa de $p$ está dado por el envío de un camino de $\gamma$ a su punto final,$\gamma(1)$. El espacio de $PB$ es contráctiles simplemente reduciendo todas las rutas para el camino constante en $\ast$.

Por la inducción de la larga secuencia exacta en la homotopy, obtenemos el corolario $\pi_n(\Omega B)\cong\pi_{n+1}(B)$ todos los $n\geq 0$.

En el espacio $PB$ se ajuste a tu idea de un 'universal' bundle (que no debe confundirse con este)$B$? Tenga en cuenta que $p$ no siempre es localmente trivial y, entonces, no es un paquete en general, pero es sin duda un fibration.

Answer 2

Esta pregunta tiene una respuesta agradable en MO: esta respuesta por Reid Barton, como se ha mencionado por Bruno Stonek en los comentarios.

La torre de Whitehead tiene la mayoría de las características que estaba buscando, también; Gracias a Piotr Pstrągowski para mencionar esto en los comentarios así.