¿Cuando tiene un subgrupo de un grupo compacto todos sus finito-dimensional unitarios representaciones obtenibles mediante la restricción de alguna representación de un grupo más grande?
¿En otras palabras, cuando es el functor de restricción esencialmente sobreyectiva?
Edit: esto parece no es un problema sencillo. Así que ¿por qué cuando restringimos a los subgrupos finitos de grupos compactos?
Deje $G$ ser un grupo compacto y deje $H$ ser un subgrupo cerrado — si $H$ no se cierra bien podría pasar a su cierre de todos modos.
No puedo pensar en una interesante condición necesaria: $H$ tiene que ser un "equiconjugate" subgrupo de $G$, lo que significa que si dos elementos en $H$ son conjugado en $G$, son también conjugado en $H$. Si $H$ no es equiconjugate, a continuación, los caracteres que distinguen a sus clases conjugacy no son accesibles.
También puedo pensar en dos interesantes condiciones suficientes: (1) $H$ es el complemento normal de un subgrupo $N$, por lo que es naturalmente isomorfo a $G/N$. (2) $G$ es un "exterior central de extensión" de $H$, lo que significa que $G$ es generado por $H$ y su centro $Z(G)$. En este segundo caso, el centro de $Z(H)$ hechos por escalares en cualquier irreductible representación de $H$, y los escalares de forma automática puede ser extendido a $Z(G)$. Por ejemplo, $H = SU(2)$$G = U(2)$.
Estas dos condiciones suficientes pueden ser combinados para producir...ejemplos sin una clara caracterización. Por otra parte, si $G = SU(2)$ $H = Z(G)$ es su centro, entonces la restricción functor no es surjective. Tentativamente, no puedo pensar en una mejor descripción de la surjective restricción de la propiedad distinto de sí mismo.
Una respuesta para el comentario: yo estaba un poco apresurada en la afirmación de que "podría" pasar a la clausura de un subgrupo que no está cerrado. La cosa correcta de decir en primer lugar es que se puede dividir el problema en dos: Usted puede mirar en la restricción functor de $G$ al cierre de $\overline{H}$ (como se discutió anteriormente), y luego se puede ver en la restricción functor de$\overline{H}$$H$. Son muy diferentes de problemas: Si $H$ es un subgrupo cerrado de $G$, entonces no es una inducción functor que dice que cada irrep de $H$ aparece como un sumando de una irrep de $G$. Por otro lado, si $H$ es un denso subgrupo del grupo compacto $\overline{H}$, la pregunta es si $H$ tiene cualquier continua unitario de representaciones que no están uniformemente continua. Cada grupo de Hausdorff es también un espacio uniforme, $\overline{H}$ es el uniforme de la finalización de $H$, y desde $\overline{H}$ es compacto, cada una continua representación es uniformemente continua.
No tengo un análisis completo del segundo problema, pero mi intuición es que no todos los que mucho de lo que sucede. Por ejemplo, supongamos que $G$ es un compacto de Lie del grupo. A continuación, $\overline{H}$ también es un compacto de Lie del grupo. Creo que es cierto que cualquier continua representación de $H$ debe ser diferenciable en la identidad; debe ser una representación de la Mentira álgebra de $\overline{H}$. A continuación, se extiende a una representación de la $\overline{H}$ sí.
Una línea irracional $L$ en un 'toro' $T$ se ve como un contraejemplo, pero no es uno, si utilizamos el subconjunto de la topología como una estricta lectura de la pregunta sugiere. El subconjunto de la topología en $L$ es más grueso que el valor intrínseco de Lie del grupo de topología de $L$.
Otra manera de tomar la pregunta es suponer que las $H$ es una Mentira grupo, y a tomar sus propias Mentira topología del grupo. Si este es más fino que el subconjunto de la topología, entonces creo que, de inmediato, el infinito-dimensional de la representación unitaria $L^2(H)$ no es continua en el subconjunto de la topología. Se que en lugar de mirar densa subgrupos que no son compactas, pero sólo finito-dimensional unitario de representaciones? Esto es otra vuelta de tuerca a la cuestión que me gustaría tener que pensar en ello, pero mi intuición es que los ejemplos son demasiado complicado o demasiado limpio.
No sé cómo responder a la pregunta, pero también hay una forma geométrica a pensar acerca de esto cuando $H$ es cerrado.
Supongamos $H$ es un subgrupo cerrado de $G$. Tome su favorito finito-dimensional unitaria representación de $H$ y luego la forma de la correspondiente inducida por la representación de $G$. La inducida por la representación puede ser pensado como el espacio de continua secciones de un vector paquete de más de $G/H$. Si su representación original de $H$ fue la restricción de la representación de $G$, luego de que el vector paquete es trivial. Para decirlo de otra manera, es necesario que la inducida por la representación es un módulo más de $C(G/H)$.
No estoy seguro de si el proceso inverso contiene; es decir, si la inducida por paquete es trivial, implica que la representación de la $H$ fue la restricción de la representación de $G$? Pero suena como que podría ser cierto. Esto le dirá a usted, por ejemplo, que la propiedad se mantiene para cada subgrupo cerrado de índice finito, que por desgracia no es un caso muy interesante.
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