Teorema de Ramsey infinito con infinitamente muchos colores

Question

Claramente, es posible que el color de los bordes de un infinito grafo completo para que no contienen ninguna infinito monocromática subgrafo completo. Ahora, ¿y el siguiente?

Deje $G$ ser el grafo completo con conjunto de vértices de la los enteros positivos. Cada borde de $G$ es, a continuación, de color c con una probabilidad de $\frac{1}{2^c}$, para $c = 1, 2, \dots$ ¿Cuál es la probabilidad de que G contiene un infinito monocromático subgrafo completo?

No está claro para mí si la respuesta debería ser $0, 1$, o algo en el medio.

Answer 1

Cada gráfico al azar infinito numerable es casi seguramente la gráfica de Rado que contiene todos los gráficos finitos e infinitos numerable como subconjuntos inducidos. Para cada clase de color seguramente contiene el gráfico de Rado y por lo tanto un infinito subgráfico monocromática. Vea el siguiente para más detalles aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_graph

También hay enlaces en el artículo de otros artículos incluyendo uno en el gráfico de Rado.

Answer 2

En realidad, creo que la respuesta debe ser 1, por la prueba estándar de dos pasadas del teorema de Ramsey infinito (con finito muchos colores):

Tomar un vértice v. Con probabilidad 1 es adyacente a w infinitamente muchos vértices tal que vw es 1 color. La palabra S_1 repetir el conjunto de todos estos w. S_1 conseguir S_2, etcetera.