Dada una condición sobre $n$ reales

Question

Sea $a_1,a_2 \cdots a_n$ sean reales tales que $$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2-1}+ \cdots +\sqrt{a_n-(n-1)}=\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_n)-\frac{n(n-3)}{4}$$ Hallar la suma del primer $100$ términos de la secuencia. Soy incapaz de pensar qué hacer. Por favor, dame algunas pistas e ideas. Muchas gracias.

Answer 1

Utilizar la desigualdad A.M-G.M $$\sqrt{a_i-(i-1)} \leq \frac{a_i-i+2}{2}$$ Por lo tanto $$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2-1}+ \cdots +\sqrt{a_n-(n-1)}\leq\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_n)-\frac{n(n-3)}{4}$$

Pero sabemos que la igualdad de hecho se mantiene. Así que.., $a_i = i$ .

Answer 2

Respuesta "ligeramente" más larga :)

Me saltaré la parte de la base del IM. Por lo tanto, es cierto para algunos $k$ . $$ \sum \limits_{i = 1}^k \sqrt{a_i - (i - 1)} = \frac 12 \sum \limits_{i = 1}^k a_i - \frac {k(k - 3)}4 $$ Ahora, observemos qué ocurre si tomamos $k + 1$ términos $$ \sum \limits_{i = 1}^{k+1} \sqrt{a_i - (i - 1)} = \frac 12 \sum \limits_{i = 1}^{k+1} a_i - \frac {(k+1)(k - 2)}4 $$ Ahora, utilice la igualdad para el $k$ términos en LHS $$ \frac 12 \sum \limits_{i = 1}^k a_i - \frac {k(k - 3)}4 + \sqrt{a_{k+1}-k} = \frac 12 \sum \limits_{i = 1}^{k+1} a_i - \frac {(k+1)(k - 2)}4 \implies \\ \sqrt{a_{k+1} - k} = \frac {a_{k+1}}2 - \frac 14\left [{(k+1)(k-2) - k(k-3)} \right ] = \frac {a_{k+1}}2 - \frac 12(k-1) \implies \\ 4 (a_{k+1} - k) = a_{k+1}^2 - 2a_{k+1}(k-1) + (k-1)^2 \implies\\ a_{k+1}^2 - 2a_{k+1}(k-1+2) + (k-1)^2 + 4k = a_{k+1}^2 - 2a_{k+1}(k+1) + (k+1)^2 = 0 \implies \\ a_{k+1} = k+1 $$