¿Hay otras funciones analíticas con esta propiedad de la función sinc?

Question

Esta pregunta está motivada por mi anterior post acerca de la función de sinc.

Probar o refutar que $\frac{\sin x}{x}$ es el único entero distinto de cero (es decir, de la analítica en todas partes) la función $f(x)$ $\mathbb{R}$ tal que $$\int_0^\infty f(x) dx=\int_0^\infty f(x)^2 dx$$ o $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)^2 dx.$$

Si $f$ sólo es necesario ser continua, a continuación, otros ejemplos son posibles, por ejemplo, incluso la extensión de la siguiente función: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -2(5+\sqrt{65})x^2+(7+\sqrt{65})x-1 & 0\le x\le \frac{1}{2}\\ 2(5+\sqrt{65})x^2-(13+3\sqrt{65})x+4+\sqrt{65} & \frac{1}{2}\le x\le 1\\ \frac{1}{x^2} & x\ge 1 \end{array}\right. $$

Como se comenta más abajo, resulta que no son fáciles de responder a la pregunta de arriba. AD también mostró una función a continuación que también satisface $$ \sum_{n=1}^\infty f(n)=\sum_{n=1}^\infty f(n)^2=0. $$ En vista de estas respuestas, mi pregunta ahora es revisado para:

Probar o refutar que $\frac{\sin x}{x}$ es el único distinto de cero todo función, $f(x)$ $\mathbb{R}$ tal que $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)^2 dx=\sum_{-\infty}^\infty f(n) =\sum_{-\infty}^\infty f(n)^2 $$

Answer 1

Similar a la sugerencia de Zaricuse, que es tomar una función entera $f$ tal que $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx \ne0$ entonces solucionar para $$\int_{-\infty}^\infty af(x)dx = \int_{-\infty}^\infty (af(x))^2dx$ $ Entonces $g(z)=af(z)$ resuelve la mitad del problema. A $$\sum g(n)=\sum g(n)^2$ $ por ejemplo podemos empezar con $f(z)=\sin (\pi z) \cdot h(z)$ $h$ Dónde está una integrable función entera.

Answer 2

En el espíritu de Zaricuse la solución sin que la suma requisito de tomar cualquier suficientemente bien comportado funciones f y g. Entonces usted debería ser capaz de encontrar una combinación lineal af+bg que satisface ambas ecuaciones. Si vamos a

$$if=\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$$ $$if2=\int_{-\infty}^\infty f(x)^2 dx$$ $$sf=\sum_{n=1}^\infty f(n)$$ $$sf2=\sum_{n=1}^\infty f(n)^2$$

y lo mismo para fg y g, tenemos

$$a*if + b*ig=a^2*if2+2ab*ifg+b^2ig2$$ y
$$a*sf + b*sg=a^2*sf2+2ab*sfg+b^2sg2$$

que se puede resolver para a y b en la mayoría de los casos.

Añadido En respuesta a la nueva solicitud que los valores de las dos integrales y dos sumas todo el partido, sólo tengo suficiente mandos a la vez. Definir $g(k,x)=\exp(-kx^2)$ y tome $f(x)=g(1,x)+ag(2,x)+bg(3,x)+cg(4,x)$ La cosa buena acerca de esta $f$ es que el $f^2$ está escrito en términos de $g(k,x)$, a pesar de k va hasta 8. La integral de $g(k,x)$ es sólo $\sqrt{\frac{\pi}{k}}$ y la suma se calcula por Wolfram Alpha como $\vartheta_3(0,\exp(-k))$. Podemos hacer una tabla:

$$\begin{array}{ccc}k&\int g(k,x)&\sum g(k,x)\\1&1.772453851&1.77264\\2&1.253314137&1.27134\\3&1.023326708&1.09959\\4&0.886226925&1.03663\\5&0.79266546&1.01348\\6&0.723601255&1.00496\\7&0.669924586&1.00182\\8&0.626657069&1.00067\end{array}$$

Así que la integral de f es $\sqrt{\pi}(1+a/\sqrt{2}+b/\sqrt{3}+c/\sqrt{4})$ La integral de f^2 es $\sqrt{\pi}(1/\sqrt{2}+2a/\sqrt{3}+(a^2+2b)/\sqrt{4}+(2c+2ab)/\sqrt{5}+(b^2+2ac)/\sqrt{6}+2bc/\sqrt{7}+c^2/\sqrt{8})$ con expresiones similares para la suma, en términos de theta3. Queremos encontrar a,b,c de modo que la de las integrales y sumas todo el partido. A menos que mi matriz de coeficientes tiene muy poco probable que la dependencia estará disponible. Excel reivindicaciones $a=-3.782590725, b=4.503400057, c=-1.83137936$ está muy cerca de una solución, y debe haber más.

Answer 3

La cuestión revisada ha sido respondida en este post en Mo. En particular, fue demostrado que $\frac{\sin ax}{ax}$ cumple esta igualdad cada $0<a\le \pi$.