13 de enero de 2016: libro que hace esto mencionado en una pregunta de hoy, Álgebra lineal hecha mal por Sergei Treil. Lo llama diagonalización no ortogonal de una forma cuadrática, llama a su primer método de compleción de cuadrados, páginas 201-202, sección 2.2.1. En la sección 2.2.2, páginas 202-205, describe este método, llamándolo Diagonalización mediante operaciones de fila/columna.
El método al que me refiero es útil para matrices simétricas con entradas enteras, o al menos racionales. Diagonaliza pero NO diagonaliza ortogonalmente. En la dirección en que lo hago, normalmente lo llamo reducción de Hermite o método de Hermite. Al final, necesito encontrar el inverso de mi matriz (que normalmente tiene un determinante, así que no es tan malo). Este otro método produce una respuesta directa, un método de libro de cocina no conceptualmente diferente de la reducción de fila de matrices, especialmente usando eso para encontrar su inverso. Este método es muy similar a la reducción de Gauss para las formas cuadráticas binarias positivas, sólo que permite coeficientes racionales en las matrices elementales utilizadas; Gauss pegado con números enteros.
El método consiste principalmente en la reducción de Gauss, destinada a las formas binarias positivas. Tratamos con dos variables (pares fila/columna) a la vez. Mientras una de las dos entradas diagonales sea distinta de cero no hay problemas, no hay que hacer elecciones. Empezamos con una matriz simétrica $A_0.$ En cada paso, llámalo paso $n,$ vamos a usar alguna matriz elemental $E_n,$ igual que en la reducción de filas, de tal manera que $A_n =E_n^T A_{n-1} E_n$ tiene un par menos de entradas fuera de la diagonal que no son cero. También comenzamos con $P_0=I,$ entonces cada paso que damos $P_n=P_{n-1}E_n.$ Eventualmente llegamos a algunos $n=N$ de tal manera que $A_N=D$ es diagonal y $P_N=P,$ con $P^T A P = D$ por construcción. Oh, también por construcción, $P$ tiene un determinante $1.$
ACABO DE PONER UN EJEMPLO EN Encuentra la matriz de transición que transformaría esta forma en una forma diagonal. aún no está escrita, es de entrada y salida de gp-pari y no debería ser demasiado difícil de leer, de hecho uno puede copiar los comandos individuales en pari y ver cómo progresa. También puse una respuesta de 4 por 4, la respuesta final, que de otra manera sería la salida de gp-pari, en Dado un $4 \times 4$ matriz simétrica, ¿hay alguna forma eficiente de encontrar sus valores propios y diagonalizarla?
Déjenme repasar los dos ejemplos, el segundo implica una elección porque obtenemos un elemento diagonal cero en un punto.
Primero:
Deje que $$A = \left ( \begin {array}{cc} 2&3 \\ 3&4 \end {array} \right ) \in M_n( \mathbb {C})$$
Encuentra $P$ de tal manera que $P^TAP = D$ donde $D$ es una matriz diagonal.
Así que aquí está la solución:
$$A = \left ( \begin {array}{cc|cc} 2&3&1&0 \\ 3&4&0&1 \end {array} \right ) \sim \left ( \begin {array}{cc|cc} 2&0&1&-3/2 \\ 0&-1/2&0&1 \end {array} \right )$$
Por lo tanto, $$P = \left ( \begin {array}{cc} 1&-3/2 \\ 0&1 \end {array} \right ) \\ P^TAP = \left ( \begin {array}{cc} 2&0 \\ 0&-1/2 \end {array} \right ) $$
Entonces, esta era sólo una reducción de Gauss, permitiendo una entrada racional fuera de la diagonal en mi $E_1$ con el fin de forzar la $1,2$ y $2,1$ par de posiciones para convertirse en cero. Mientras la parte superior izquierda de los dos coeficientes diagonales sea distinta de cero, podemos tomar nuestro $E_n$ para ser un triángulo superior. Si nos encontramos con una entrada diagonal cero en la primera fila/diagonal que posea alguna entrada distinta de cero (por lo tanto fuera de la diagonal), necesitamos hacer un paso extra para forzar un elemento diagonal distinto de cero.
Así que, hagamos la siempre popular forma $2xy$ por aquí. $$ A = A_0 = \left ( \begin {array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ) $$ Como ambas entradas diagonales son cero, al cambiar de fila/columna 1 y 2 todavía dará $0$ en la posición 1,1. No nos gusta eso. En cambio, tomamos a más bajo triangular $E_n,$ aquí $$ E_1 = \left ( \begin {array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end {array} \right ) $$
La forma en que estoy numerando las matrices, esto da $$ A_1 = E_1^T A E_1 = \left ( \begin {array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ), $$ también $$ P_1 = E_1. $$ A continuación, volvemos a las matrices elementales triangulares superiores más comunes, con $$ E_2 = \left ( \begin {array}{cc} 1 & - \frac {1}{2} \\ 0 & 1 \end {array} \right ). $$
$$ D= A_2 = E_2^T A_1 E_2 = \left ( \begin {array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{2} \end {array} \right ), $$ también
$$ P = P_2 = P_1 E_2 = E_1 E_2 = \left ( \begin {array}{cc} 1 & - \frac {1}{2} \\ 1 & \frac {1}{2} \end {array} \right ), $$
Nótese que, desde $A_1 = E_1^T A E_1 $ y $D= A_2 = E_2^T A_1 E_2$ de hecho, tenemos $$ \color {red}{ D= A_2 = E_2^T (E_1^T A E_1) E_2 = E_2^T E_1^T A E_1 E_2 = (E_1 E_2)^T A (E_1 E_2)} $$ que es la razón por la que $P = E_1 E_2.$
El manual de soluciones que tiene esto utilizaría matrices "aumentadas", 4 por 2, no registrar el individuo $E_i,$ sólo el $A_i$ aumentada por $P_i.$ Al menos, dada la forma en que estoy numerando las cosas, así es como prefiero escribir tal resumen, puede ser ligeramente diferente para los ejemplos de la otra pregunta:
$$ (A_0|P_0) = \left ( \begin {array}{cc|cc} 0&1&1&0 \\ 1&0&0&1 \end {array} \right )$$ $$ \mapsto (A_1|P_1) = \left ( \begin {array}{cc|cc} 2&1&1&0 \\ 1&0&1&1 \end {array} \right )$$ $$ \mapsto (A_2|P_2) = \left ( \begin {array}{cc|cc} 2&0&1&- \frac {1}{2} \\ 0&- \frac {1}{2}&1& \frac {1}{2} \end {array} \right )$$ He estado viendo este método últimamente, pero no conozco ningún libro que lo enseñe (o en qué idioma). Parecería ser un libro sobre teoría de matrices o álgebra lineal, y puede que nunca mencione las formas cuadráticas, difíciles de predecir. O puede que haga formas cuadráticas sobre los reales, como es bastante común, e ignorar el caso de los coeficientes enteros. Sospecho que nadie en MSE ha enseñado este método, tal vez es un libro reciente.
Aquí hay sucesos recientes, aparentemente dos por el mismo tipo, y luego dos por otra persona. Para encontrar otros, busque mis respuestas que usan la frase Reducción de Hermite. Una de estas últimas es respondida a mi manera, sólo que se llama repetición completando el cuadrado, lo cual es exactamente correcto.
Encontrando $P$ de tal manera que $P^TAP$ es una matriz diagonal
Diagonalizar una matriz simétrica
Encuentra la matriz de transición que transformaría esta forma en una forma diagonal.
Muy similar al método en el esquema de Schaum como se ve en esta respuesta: Dado un $4 \times 4$ matriz simétrica, ¿hay alguna forma eficiente de encontrar sus valores propios y diagonalizarla?
De hecho, aquí está la imagen subida por el.Salvador allí:
