Homogénea de primos en un anillo graduado

Question

Que $B=\oplus_{n\in\mathbb Z} B_n$ ser un anillo graduado (conmutativa con 1). Sabemos que $B_0$ es un subanillo de $B$, así que tenemos el % de inclusión $B_0\hookrightarrow B$.

Mi pregunta es:

¿Es todo ideal principal de $B_0$ la imagen inversa de un prime homogénea ideal en $B$?

Si $B_0$ es un dominio de ideales principales, entonces es cierto, así que estaba tratando de encontrar un contraejemplo en $\mathbb Z[t][x,y]$, pero no es tan fácil.

Answer 1

Que $A$ ser un $\mathbb Z$-anillo comutativo, y $\mathfrak p_0$ ser un ideal principal de $A_0$. Luego hay un gradual prime ideal $P$ $A$ tal que $P_0=\mathfrak p_0$. (Aquí $P_0$ denota grado cero componente de $P$, es decir $P\cap A_0$.)

Para cada $n\in\mathbb Z$ $P_n=\{a\in A_n:aA\cap A_0\subseteq\mathfrak p_0\}$. Listo $P=\bigoplus_{n\in\mathbb Z}P_n$. $P$ Es un ideal principal de $A$ y $P_0=\mathfrak p_0$.