¿Cómo es reducible en $x^2 + x + 1$ $\mathbb{Z}_3[x]$?

Question

Voy a través de mi número de la teoría de notas y han caído en el poco acerca de el anillo de $\mathbb{Z}_p[x]$ donde $p$ es el primer, y único dominios de factorización. El ejemplo que estoy viendo es que hacer con irreductible y reducible polinomios. Dice

e.g en $\mathbb{Z}_3[x]$, $x^2 + x + 1 = (x + 2)(x+2) = (x-1)(x-1)$ debido a $x^2 + x + 1 = x^2 - 2x + 1$. Por lo $x^2 + x + 1$ es reducible en $\mathbb{Z}_3[x]$. Pero $x^2 + x + 1$ es irreducible en a $\mathbb{Z}_2[x]$ o $\mathbb{Z}_2[x]$ (por ejemplo).

No entiendo cómo mi profesor ha hecho esto. Cómo puede escribir $x^2 + x + 1 = (x + 2)(x + 2)$ al $(x + 2) (x+2) = x^2 + 4x + 4$ y cómo puede ella decir que $x^2 + x + 1 = x^2 - 2x + 1$? También, ¿por qué esto sólo trabajo en $\mathbb{Z}_3[x]$ y no decir $\mathbb{Z}_2[x]$ o $\mathbb{Z}_5[x]$?

EDIT: En caso de que ayuda, mi definición de $\mathbb{Z}_p[x]$ está dada por:

La prueba de la Primitiva Elemento Teorema utiliza el hecho de que si $p \in \mathbb{Z}_+$ es primo, entonces el anillo de $\mathbb{Z}_p[x] = \{a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n: n \in \mathbb{Z}, a_i \in \mathbb{Z}_p, 0 \leq i \leq n\}$ es una única factorización de dominio (UFD). Esto significa que $\mathbb{Z}_p[x]$:

• es un anillo conmutativo con identidad
• no tiene divisores de cero
• tiene la única factorisations en irreducibles - que también son números primos sinc este es un disco flash usb. Las "unidades" en $\mathbb{Z}_p[x]$ son la constante polinomios $a_0 \in \mathbb{Z}_p^*$.

Answer 1

Cuando escribimos $(x+2)(x+2)$$\Bbb Z_3[x]$, que formalmente escribir $(x+[2])(x+[2])$ donde $[2]$ es la equivalencia de la clase $2 \pmod 3$. Ahora, por definición de la multiplicación por polinomios:

$$(x+[2])(x+[2]) = x^2 + ([2]+[2])x + [2][2] = x^2 + [4]x + [4] = x^2 + [1]x + [1]$$

donde el último paso de la siguiente manera como las clases de equivalencia $4 \pmod 3$ $1 \pmod 3$ son iguales.

Si OTOH estábamos trabajando en $\Bbb Z_5$ o algunos otros $\Bbb Z_p$, entonces, el significado de $[2]$ cambio $2 \pmod 5$ o $2 \pmod p$, lo que, obviamente, se comportan de manera diferente en virtud de la multiplicación.

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Una vez que tenemos una comprensión sólida del anillo de $\Bbb Z_p$ que estamos trabajando, podemos optar por colocar los corchetes como un abuso de notación (porque los matemáticos son perezosos).

Answer 2

En $\mathbb{Z}_{3}$, tenemos que $-2 = 1$. Esto es porque $ -2 = 3(-1) + 1 $.

Por lo tanto, puesto que consiste en polinomios con coeficientes de $\mathbb{Z}_{3}[X]$ $ \mathbb{Z}_{3} $, tenemos que $x^2 + (1)x + 1 = x^2 + (-2)x + 1 $

Answer 3

Sugerencia: Un polinomio monic del grado $2$ sobre un dominio $R$ es reducible iff tiene una raíz en $R$.