La respuesta a su pregunta es sí. Todos los números de la forma $x=\sum_{n\ge0}\frac{C_k}{g^{Z(k)}}$ para Z(k) dominando eventualmente cualquier polinomio son efectivamente trascendentales. Como en la pregunta, g y C k son enteros con 1 ≤ C k ≤ g-1. De hecho, los métodos utilizados por el artículo enlazado en la pregunta se generalizan de forma bastante sencilla para manejar esta situación. No sé que este resultado aparezca en ningún artículo publicado, pero tened en cuenta los siguientes puntos.
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Podemos decir directamente que x es irracional. Esto se deduce de que Z(n) domina eventualmente cualquier función lineal de n, por lo que su expansión de base g no es eventualmente periódica.
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Si Z(n+1)/Z(n) no está acotado, entonces, como se indica en los comentarios, x será un Número de Liouville por lo que, por el teorema de Liouville, es trascendental. Para cualquier N > 0, Z(n+1) ≥ NZ(n) para infinitos n. El hecho de que sea un número de Liouville se deduce de tomar $p=\sum_{k=1}^nC_kg^{Z(n)-Z(k)}$ y $q=g^{Z(n)}$ , dando la aproximación racional $|x-p/q|< g^{1+Z(n)-Z(n+1)}\le gq^{-N}$ .
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Por el Teorema de Thue-Siegel-Roth , si Z(n+1)/Z(n) ≥ 2+ε con una frecuencia infinita (cualquier ε > 0) entonces x será trascendental. El teorema dice que un número algebraico irracional sólo tiene un número finito de aproximaciones racionales $\vert x-p/q\vert\le cq^{-2-\epsilon}$ para cualquier c,ε > 0 fijo. Que x tiene infinitas aproximaciones racionales de este tipo se sigue de la misma manera que para el punto 2 anterior. Cada Z(n+1) ≥ (2+ε)Z(n) da una aproximación racional $\vert x-p/q\vert< gq^{-2-\epsilon}$ , por lo que x no puede ser algebraico. Esto cubre el caso en el que Z(n) crece exponencialmente con una tasa de a n para cualquier a > 2, pero no es lo suficientemente fuerte como para cubrir casos como Z(n) = 2 n .
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Si Z(n+1)/Z(n) > 1+ε infinitamente a menudo (cualquier ε > 0) entonces x será trascendental. Esto es una consecuencia del teorema de Roth-Ridout, del artículo de 1957 Aproximaciones racionales a los números algebraicos (no es de libre acceso, pero también se cita en el documento de libre acceso Una versión explícita del teorema de Roth-Ridout Teorema 2). El teorema de Roth-Ridout refuerza el teorema de Thue-Siegel-Roth implicando, en particular, que para x irracional y algebraica, sólo hay un número finito de aproximaciones racionales $\vert x-p/q\vert\le cq^{-1-\epsilon}$ cuando los factores primos de q pertenecen todos a algún conjunto finito fijo P . En nuestro caso, podemos dejar que P sea el conjunto de factores primos de g y el resultado se sigue de la misma manera que para el punto 3 anterior. Esto demuestra que x es trascendental si Z(n) crece exponencialmente. (gracias a Mike Bennett en mathoverflow por señalar el teorema de Roth-Ridout).
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Un documento de Bugeaud, Sobre la expansión b-aria de un número algebraico muestra que, si x es irracional y algebraico, entonces para un n suficientemente grande, hay al menos (log n) 1+1/(ω+4) (loglog n) -1/4 dígitos no nulos entre los primeros n dígitos de la expansión de base g. Aquí, ω es el número de divisores primos de g. Esto demuestra que, si Z(n) ≥ exp(cn α ) para n grande y cualquier c > 0 fijo, α > 1/(1+1/(ω+4)) entonces x es trascendental.
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Tras leer los detalles del artículo enlazado en la pregunta original, observo que sí generalizan al caso de base g ≥ 2. Así que x es trascendental siempre que Z(n) domine eventualmente cualquier polinomio. No conozco ningún artículo publicado que demuestre esto, pero publiqué mi prueba en mathoverflow donde también se hizo esta pregunta. He releído esta prueba varias veces para asegurarme, y ahora estoy seguro de que es correcta (salvo pequeños errores tipográficos, etc.). Además, Bugeaud ha publicado una respuesta a la pregunta en la que está de acuerdo en que el método se generaliza. Utilizando #(x,n) para denotar el número de dígitos distintos de cero en los primeros n dígitos de la expansión de base g de x, el enunciado preciso es el siguiente.
Si x es irracional y satisface un polinomio racional de grado D entonces #(x,n) ≥ cn 1/D para una constante positiva c y todo lo suficientemente grande n.
De hecho, se puede eliminar fácilmente el "suficientemente grande" de esta afirmación, aunque me parece conveniente enunciarlo así. La prueba que escribí es una generalización de los métodos utilizados en el artículo enlazado en la pregunta. Sin embargo, hay un cambio que merece la pena destacar. Mientras que el artículo utiliza el teorema de Thue-Siegel-Roth en un punto (teorema 3.1), yo he utilizado Teorema de Liouville . Esto significa que la constante c que aparece en el enunciado anterior no es tan buena (si se repasa la prueba y se calcula explícitamente) aunque, en cualquier caso, el artículo enlazado en la pregunta podría haber obtenido un valor mejor utilizando el teorema de Roth-Ridout en su lugar. Sin embargo, utilizar el teorema de Liouville tiene dos ventajas. En primer lugar, es elemental. En el artículo de Wikipedia enlazado se ofrece una demostración del teorema de Liouville. En segundo lugar, es efectivo . Es decir, no sólo se puede calcular la constante c, sino que también se puede calcular exactamente qué significa "suficientemente grande" para n en el enunciado anterior (que dependerá del polinomio que satisfaga x). Las versiones reforzadas del teorema de Liouville, como Thue-Siegel-Roth y Roth-Ridout, no son eficaces.
