Probabilidad con n dados

Question

Estoy estudiando probabilidad y actualmente estoy atascado en esta pregunta:

Supongamos que tenemos n dados distintos, cada uno de los cuales es justo y de 6 caras. Si se lanzan todos estos dados, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos un par que sume 7?

Interpreto lo anterior como equivalente a lo siguiente:

1 - (Probabilidad de que no haya ningún par que sume 7)

Entonces, si considerara solo un par de dados, ¿la probabilidad de que la pareja sume 7 sería 1/6, creo?

Así que Pr(una pareja no suma 7) = 5/6.

Pero luego estoy atascado en cómo seguir. Porque hay muchas posibles parejas entre los n dados, y algunas de estas parejas se superponen... por ejemplo, (dado1, dado2) es una pareja, (dado1, dado3) es una pareja, y así sucesivamente. Entonces no sé cómo tener en cuenta estas superposiciones.

$$===============================================$$ EDICIÓN: Según la respuesta de John a continuación, aquí está mi intento:

Caso 1:

Probabilidad(de que todos los n dados muestren un solo número) = $1*(\frac{1}{6})^{n-1}$? ¿Esto es correcto? Mi razonamiento es que el primer dado puede mostrar cualquier número (probabilidad = 1), luego el segundo hasta el último dado debe mostrar el mismo número (probabilidad = 1/6)

Caso 2:

Probabilidad(de que todos los n dados muestren exactamente dos números que no sumen 7) = $1*(\frac{4}{6})*(\frac{2}{6})^{n-2}$? Mi razonamiento aquí es que el primer dado puede mostrar cualquier número, el segundo dado debe mostrar cualquiera de los otros 4 números para que los dos primeros dados no sumen 7, y luego todos los demás dados deben mostrar el número del primer o segundo dado.

Caso 3:

Probabilidad(de que todos los n dados muestren exactamente tres números que no sumen 7) = $1 * \frac{4}{6} * \frac{1}{6} * (\frac{3}{6})^{n-3}$?

¿Y luego simplemente sumamos los 3 casos, y luego restamos de 1? Es posible que esté completamente equivocado aquí...

Answer 1

Estás en el camino correcto. Te sugeriré una forma de avanzar.

Para obtener una pareja que sume $7$, necesitas:

• al menos un $1$ y un $6$, o
• al menos un $2$ y un $5`, o
• al menos un $3$ y un $4`.

Esto significa que los dados pueden mostrar como máximo tres números diferentes. Si son cuatro, debes tener una pareja (principio de los palomares).

Entonces, desglosemos los casos:

• Un número mostrando (todos los $5$'s, por ejemplo)
• Dos números mostrando (todos los $1$'s y $2$'s no tienen parejas, pero todos los $3$'s y $4$'s obviamente sí)
• Tres números mostrando (todos los $1$'s, $2$'s y $3$'s no tienen parejas, pero todos los $1$'s, $2$'s y $6$'s sí).

¿Puedes continuar a partir de aquí?

Answer 2

Cada dado tiene tres ejes etiquetados como ${1}$, $2$, $3$. Después de lanzar los $n$ dados, hay $n$ ejes verticales que se pueden codificar en una palabra $w$ de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{1,2,3\}$. De esta manera, todas las $3^n$ palabras $w$ son equiprobables. No tienes un par que sume siete si las $m_1\geq0$ apariciones de unos en $w$ son un $1$ en todos ellos o un $6$ en todos ellos, e igualmente para los doses y los treses en $w$. La probabilidad $p_1$ de que todos los $m_1$ unos en $w$ estén orientados de la misma manera se da por $$p_1=\cases{1&$(m_1=0)$\cr 2/2^{m_1}&$(m_1\geq1)$\cr}\quad = 2^{-m_1}\cdot 2^{{\bf 1}[m_1\ne0]}\ .$$ Dado que $m_1+m_2+m_3=n$, sigue que la probabilidad $p|w$ de no ver un par que sume siete, dado $w$, se calcula como $$p|w=p_1\cdot p_2\cdot p_3=2^{-n}\cdot2^{\#\{i|m_i\ne0\}}\ .$$ Dado que debemos sumar estos $p|w$ sobre todas las palabras $w$ posibles, ahora debemos calcular el número de palabras $w$ que usan exactamente $1$, exactamente $2$ o los tres caracteres.

Hay $3$ palabras que usan exactamente $1$ carácter, luego hay $3\cdot(2^n-2)$ palabras que usan exactamente $2$ caracteres, y las restantes $3^n-3\cdot 2^n+3$ palabras usan los tres caracteres. En total, la probabilidad $q$ de que ningún par sume siete es $$q={1\over 3^n\cdot 2^n}\bigl(3\cdot 2^1+(3\cdot 2^n-6)\>2^2+(3^n-3\cdot 2^n+3)\>2^3\bigr)\ ,$$ y sumando los términos obtenemos $$q={8\over 2^n}-{12\over 3^n}+{6\over 6^n}\ .$$

Answer 3

La pieza que te falta ahora es inclusión-exclusión.

Considera el conjunto de lanzamientos de dados donde solo salieron los valores 1, 2, 3. Es fácil calcular el número de formas de estar en ese conjunto. Es simplemente $3^n$. ¿Cuántos conjuntos de ese tipo existen?

Ahora, si sumamos ingenuamente juntos los tamaños de todos esos conjuntos, vamos a tener un doble conteo. Por ejemplo, el conjunto de lanzamientos de dados donde solo salió 1, 2 fue contado con 1, 2, 3 y también con 1, 2, 4. Así que resta la cantidad de formas de estar en esas diversas posibilidades de 2 dados.

Pero, ¿qué pasa con el caso donde todos los dados salieron 1? ¿Cuántas veces se han contado esos casos? ¿Qué tienes que hacer para corregir eso?

Cuando tengas tu fórmula, debes verificar tu trabajo asegurándote de que si $n = 1$ deberías obtener 6 posibilidades. Si $n = 2$ deberías obtener 30 posibilidades. Y para $n = 3$ deberías obtener 126.

Ahora divide por $6^n$ para pasar de posibilidades a probabilidades.