Determinar el espacio nulo de un mapa lineal

Question

Dejemos que $P_k(x)$ denotan el espacio de los polinomios de grado máximo $k$ . Sea $D$ denotan la diferenciación con respecto a $x$ . Considere el operador diferencial $L: P_k\rightarrow P_k$ tal que $L=\frac{1}{n!}D^n+\frac{1}{(n-1)!}D^{n-1}+...+D+I$ . Si $k\leq n$ , hallar la dimensión del núcleo de $L-T$ donde $T:P_k\rightarrow P_k$ viene dada por $T(p(x))=p(x+1)$ .

Para minimizar la cantidad de cálculos, empiezo por encontrar la representación matricial de $D$ en relación con $\{1,x,x^2,...,\}$ que es una matriz con $1,2,3,..,n$ en la superdiagonal y 0 en el resto. Entonces, ¿debo encontrar $D^k$ para cada $k$ ? El cálculo parece una locura. ¿Hay alguna manera más fácil? ¿Algún atajo?

Answer 1

Una pista: La fórmula de Taylor nos dice que cuando $p(x)$ es un polinomio: $$p(x+1)=p(x)+p'(x)+\frac{1}{2}p''(x)+\cdots+\frac{1}{n!}p^{(n)}(x)+\cdots$$ ya que el resto (Lagrange, etc.) acabará siendo cero. Escribe esta fórmula en forma de operadores sobre $p$ .

Answer 2

Sugerencia Desde $D: P_k \to P_k$ es nilpotente de orden $k + 1$ Es decir, $D^l = 0$ para $l \geq k + 1$ la serie que define su exponencial se trunca en ese orden. Para $n \geq k + 1$ que tenemos: $$ L = I + D + \frac{1}{2} D + \cdots + \frac{1}{n!} D^n = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} D^i =: \exp D. $$ Para la representación matricial $[D]$ de $D$ con respecto a la base dada $\{1, x, \ldots, x^k\}$ es posible elaborar manualmente una matriz de cambio de base que ponga $D$ en la forma normal de Jordan, después de lo cual es fácil de exponer.

Sugerencia adicional La representación matricial para $L$ con respecto a la base dada tiene $(i, j)$ entrada $j \choose i$ para $j \geq i$ y $0$ para $j < i$ es decir, es triangular superior con entradas no nulas dadas por (la transposición de) la primera $k + 1$ filas del Triángulo de Pascal.