Cuando una cubierta mapa es finito y conectado, existe un bucle ninguno de cuyos ascensores es un bucle.

Question

He leído el siguiente ejercicio.

Deje $p:\tilde X\to X$ ser finito conectadas con el mapa. Mostrar que existe un bucle en $X$ ninguno de cuyos ascensores es un bucle.

No puedo entender por qué se supone que debe de ser verdad. No puedo tomar $\tilde X=X$$p=\mathrm{id}_X?$, Entonces si puedo tomar cualquier bucle $\omega$$X$, he a $\omega\circ p=\omega$, lo $\omega$ es su propio ascensor. ¿Por qué es incorrecto?

(No estoy seguro de lo que un conectadas con mapa, pero creo que mi ejemplo deben cumplir esta condición, lo que significa que, si $X$ está conectado.)

Añadido. Aquí es lo que tengo después de que David Speyer comentarios. Primero de todo, debemos agregar a la hipótesis de que el grado de $p$ no $1$. Ahora, existen los siguientes dos teoremas.

• Si $p:\tilde X\to X$ es una cubierta mapa, $x_0\in X,\ \tilde x_0\in p^{-1}(x_0),$, la inducida por homomorphism $p_*:\pi(\tilde X,\tilde x_0)\to\pi(X,x_0)$ de los fundamentales de los grupos es un monomorphism.
• Si $p:\tilde X\to X$ es un conectadas con el mapa, entonces su grado es igual al índice de $[\pi_1(X,x_0):p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))].$

Supongamos que cada bucle en $X$ cuenta con un ascensor, que es un bucle. Esto significa que para cada uno de los bucles $\omega$ $X$ existe un bucle de $\tilde\omega$ $\tilde X$ tal que $\tilde\omega\circ p=\omega.$, Pero esto significa que $p_*([\tilde\omega])=[\omega],$ donde $[\gamma]$ denota la homotopy clase de un bucle $\gamma.$ Pero, a continuación, $p_*$ es un grupo epimorphism. Por el primer teorema es también un monomorphism, y por lo tanto es un isomorfismo entre el $\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)$ $\pi_1(X,x_0).$ por lo Tanto, $[\pi_1(X,x_0):p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))]=1,$ y, por el segundo teorema, el grado de $p$$1$, una contradicción con la hipótesis.

Es esto correcto? Yo creo que a lo mejor no, porque no estoy usando la finitud de $p$. La finitud de $p$ significa que, de acuerdo con el teorema de que el índice mencionado antes es finito. Pero no puedo ver nada en absoluto por qué de que sea necesario.

El único ejemplo que conozco de un infinito que cubre mapa es $e^{it}$ que cubre la unidad de círculo con la línea real. Pero aquí hay un montón de bucles de los que no tienen "loopy" ascensores porque no hay ninguna que no sea trivial bucles en la recta real, y hay muchos en el círculo. Así que si el infinito de la cubierta mapa es de hecho un problema, en este ejemplo no se muestran.

Re David Speyer respuesta

No los teoremas de trabajo para cualquier $\tilde x_0\in p^{-1}(x_0)?$ es decir, para cada una de las $\tilde x_0,$ tenemos un monomorphism $p_{*,\tilde x_0} : \pi_1(\tilde X,\tilde x_0) \to\pi_1(X,x_0).$ Si la hipótesis de que el problema se mantenga, no es, como usted dice, un $y\in p^{-1}(x_0)$ y un bucle de $\tilde\omega$ $\tilde X$ con inicio y fin en $y$ tal que $p\circ\tilde\omega=\omega$. Entonces no puedo usar $p_{*,y}$ como el anterior?

Answer 1

Su propuesta de prueba no funciona. Permítanme escribir la pieza clave en más detalle, para que usted pueda ver el problema.

Recordemos que un elemento de $\pi_1(X, x_0)$ es una clase de equivalencia de bucles a partir de y terminando en $x_0$. Deje $\tilde{X} \to X$ ser conectadas con mapa, y deje $\tilde{x}_0$ $\tilde{X}$ ser una preimagen de $x_0$. Como usted dice, $\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) \to \pi_1(X, x_0)$ es inyectiva. A continuación, intenta demostrar que es surjective, pero la prueba es errónea, ya que voy a explicar ahora.

Deje $\omega$ ser un bucle en $X$, empezando y terminando en $x_0$. Por hipótesis, existe un bucle de $\widetilde{\omega}$ $\tilde{X}$ la asignación a $\omega$. Sin embargo, $\widetilde{\omega}$ no tienen que empezar y terminar en $\tilde{x}_0$. El inicio y el final de la $\widetilde{\omega}$ es algunos preimagen de $x_0$, se $y$, pero no estamos asumiendo que $y=\tilde{x}_0$.

La esencia de este problema es (1) para trabajar de lo que en consecuencia, la hipótesis del hecho fundamental de los grupos, y (2) hacer algunas trivial teoría de grupos.

Una sugerencia para la parte (1): Vamos a $\eta$ ser un camino de $\tilde{X}$$\tilde{x}_0$$y$. Entonces la concatenación $\eta \widetilde{\omega} \eta^{-1}$ es una clase en $\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0)$. ¿Qué implicación tiene esto en el mapa de fundamental grupos $\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) \to \pi_1(X, x_0)$?

Pero sigo confundido en cuanto a cómo este problema puede ser razonablemente asignado en una clase donde el único infinito que cubre mapa que has visto es el círculo a la línea real.

Answer 2

Si el cubrir el espacio es el camino-conectado, a continuación, para $\widetilde x_0$ $\widetilde x_1$ en la fibra de $x_0$ no es un camino de $\widetilde h$. Ahora el $p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_1))$ $p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_0))$ están relacionados de una manera especial. Un bucle de $\widetilde\gamma$ $\widetilde x_1$ puede ser escrito como $\overline{\widetilde h}\cdot\widetilde\beta\cdot\widetilde h$ donde $\widetilde\beta=(\widetilde h\cdot\widetilde\gamma\cdot\overline{\widetilde h})$ es un bucle en $\widetilde x_0$. Indicar con $\beta,\gamma,h$ el homotopy clases de las imágenes en $p$. A continuación, la imagen de $[\gamma]$ bajo$p_*$$h^{-1}\beta h$. De forma análoga, la imagen de $[\beta]$$h\gamma h^{-1}$. Así que tenemos $p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_1))=h^{-1}p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_0))h$. Quiere mostrar que el ascensor en cada punto de la fibra de $x_0$ no es un bucle. Así que usted tiene que demostrar que hay un bucle en $\pi_1(X,x_0)$ que no está en ninguna clase conjugacy de $p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_0))$. Puesto que la imagen ha finito índice, se puede aplicar de Arturo resultado de que la unión de los conjugados no es el de todo el grupo. Que debe hacerlo.