editar (2010-07-26): La cuestión es mucho más complicado de lo que yo había pensado originalmente. Como implícita en la pregunta, sabía que la congruencia y la semejanza de las transformaciones son construibles. Inmediatamente debajo de esta sección es mi respuesta original, que sólo demuestra la congruencia de las transformaciones y la intención era más para dar una idea de lo que una respuesta podría parecer (ya que, en el momento, no había otra respuesta que no fue particularmente útil). En la última sección de esta respuesta es mi justificación de que todas las transformaciones afines del plano son construibles. En la re-lectura que ahora, me doy cuenta de que yo había asumido la capacidad para construir un punto, decir $P'$, en una línea, decir $\overleftrightarrow{RP}$, de tal manera que $\frac{RP'}{RP}$ es igual a algunos de la conocida relación. Esto es equivalente a ser capaz de construir la dilatación de $P$ por la conocida relación acerca de centro $R$. He añadido de la construcción de dicha dilatación debajo de la congruencia de transformación de la sección.
editar (2012-01-28): Una conversación con algunos colegas me recordó acerca de este problema y en el inicio de preguntar acerca de esto, me di cuenta de que me había perdido por completo que todas las transformaciones de Möbius son construibles. Desde cualquier transformación de Möbius puede ser expresado como una composición de la traducción, la reflexión, la inversión, la dilatación, la rotación y la traducción (creo que hay un típico descomposición que es más o menos en ese orden, de ahí mi listado de traducción de dos veces). El único de estos que todavía no he demostrado es edificable es la inversión, por lo que me han añadido que las obras de construcción.
Como una respuesta parcial, aquí están las construcciones de los básicos de la congruencia de las transformaciones, asumiendo básicos de las técnicas de construcción, como la construcción de una recta paralela o perpendicular a una recta dada por un punto dado y el ángulo-copiar:
la reflexión Da un punto de $P$ y una línea de $\ell$, la construcción de la línea perpendicular a $\ell$ a través de $P$, y construir el círculo centrado en la intersección de esta nueva línea y $\ell$ y pasando a través de $P$. La imagen de $P$ bajo una reflexión sobre la línea de $\ell$ es el punto de intersección de la circunferencia y la nueva línea (el que no se en $P$).
traducción Dado un punto de $P$ y un vector $\overrightarrow{AB}$ ( $A$ $B$), la construcción de la línea a través de $A$$P$, la línea a través de $B$ paralelo a la línea de $\overleftrightarrow{PA}$, y la línea a través de $P$ paralelo a $\overrightarrow{AB}$. La imagen de $P$ bajo la traslación por el vector $\overrightarrow{AB}$ es la intersección de los dos construyó parallels.
rotación Dado un punto de $P$, un centro de rotación $R$, y un $\angle ABC$ ( $A$ $C$), la construcción de la línea a través de $P$$R$, copie $\angle ABC$ tal que la copia de $B$ coincide con $R$ y la copia de $A$ es de ray $\overrightarrow{RP}$ y dejar que la copia de $C$ ser llamado $D$, construir el círculo con el centro en $R$ y pasando a través de $P$. La imagen de $P$ bajo de rotación por $\angle ABC$ sobre el punto de $R$ es la intersección del círculo con rayos $\overrightarrow{RD}$.
dilatación Dado un punto de $P$, un centro de dilatación $R$, y una relación de $\frac{AC}{AB}$ (donde el punto de $C$ se encuentra en ray $\overrightarrow{AB}$), traducir $B$ $B'$ $C$ % # % a través de la traducción que se lleva a $C'$$A$, la construcción de la línea de $R$, construir la línea a través de $\overleftrightarrow{B'P}$ paralelo a $C'$, y la construcción de ray $\overleftrightarrow{B'P}$. La imagen de $\overrightarrow{RP}$ en una dilatación acerca de $P$ por un factor de $R$ es la intersección de los rayos $\frac{AC}{AB}$ y la línea a través de $\overrightarrow{RP}$ paralelo a $C'$.
Todas las transformaciones afines son construibles. Por MathWorld y la Wikipedia, una transformación afín de que el avión es una transformación del plano que se conserva de la colinealidad y conserva las proporciones de las distancias en cualquier línea dada.
En primer lugar, demostrar que la afín de preservar el paralelismo, supongamos que dos líneas de $\overleftrightarrow{B'P}$ $\overleftrightarrow{MN}$ son paralelas, y que sus imágenes, líneas $\overleftrightarrow{PQ}$$\overleftrightarrow{M'N'}$, se cruzan en $\overleftrightarrow{P'Q'}$, la imagen de $X'$. Desde afín de preservar la colinealidad, $X$ debe ser en $X$ y en $\overleftrightarrow{MN}$, lo cual es una contradicción, por lo $\overleftrightarrow{PQ}$ $\overleftrightarrow{M'N'}$ no se cruzan. Por lo tanto, afín de preservar el paralelismo.
Una transformación afín es determinado por un $\overleftrightarrow{P'Q'}$ y a su imagen, $\triangle ABC$ (por MathWorld; Wikipedia habla acerca de la definición de una transformación afín por un paralelogramo y de su imagen, que es equivalente desde afín de preservar el paralelismo). Dado el punto de $\triangle A'B'C'$ y triángulos $P$$\triangle ABC$, la construcción de la línea de $\triangle A'B'C'$ a través de $\ell_1$ paralelo a $P$ y la línea de $\overline{AB}$ a través de $\ell_2$ y en paralelo a $P$, llame a la intersección de las $\overline{AC}$ con $\ell_1$ $\overline{AC}$ y llamar a la intersección de $I_1$ con $\ell_2$ $\overline{AB}$, extender $I_2$ pasado $\overline{A'B'}$ a un punto de $B'$ tal que $I'_2$, extender $\frac{AB}{AI_2}=\frac{A'B'}{A'I'_2}$ pasado $\overline{A'C'}$ a un punto de $C'$ tal que $I'_1$, la construcción de la línea de $\frac{AC}{AI_1}=\frac{A'C'}{A'I'_1}$ a través de $\ell'_1$ paralelo a $I'_1$ y la línea de $\overline{A'B'}$ a través de $\ell'_2$ paralelo a $I'_2$. La imagen de $\overline{A'C'}$ bajo la transformación afín de asignación de $P$ a $\triangle ABC$ es la intersección de las líneas de $\triangle A'B'C'$$\ell'_1$.
de inversión , Dado un punto de $\ell'_2$ y un círculo centrado en $P$, construir ray $O$, vamos a $\overrightarrow{OP}$ ser el punto de intersección de las $X$ con el círculo. La imagen de $\overrightarrow{OP}$ con la inversión, a través de un círculo es la imagen de $P$ en una dilatación por $X$ centrada en $\frac{OX}{OP}$.
