una propiedad de los elementos globales en la categoría de conjuntos

Question

En la categoría de $\operatorname{Set}$, elija un singleton $*$. Desde $*$ es un terminal de objeto, un morfismos $e: * \to X$ es también conocida como un elemento global de $X$. Aquí los elementos globales determinar los morfismos de $X$, en el sentido de que tienen la siguiente propiedad: dos morfismos $f$, $f': X \to Y$ son iguales si y sólo si $fe = f'e$ todos los $e: * \to X$.

¿Esta propiedad tiene un nombre? Podemos describir las categorías que tienen?

Answer 1

Un objeto $X$ con la propiedad de que $\text{Hom}(X, -)$ es fiel se llama un generador o un separador. Las categorías que la terminal es un objeto generador son algo raros (y no conozco un término para esta condición); los ejemplos incluyen $\text{Top}$ y la categoría de las variedades a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$. Contraejemplos incluir cualquier trivial abelian categoría (desde aquí la terminal de objeto es el objeto de cero) y la categoría de los anillos (desde aquí la terminal de objeto es el cero del anillo).

Incluso muy pequeñas perturbaciones de $\text{Set}$ no tienen esta propiedad. Por ejemplo, en la categoría de $G\text{-Set}$ $G$- conjuntos ($G$ del grupo), el functor $\text{Hom}(1, -)$ es el functor de $G$-invariantes, y esto casi nunca es fiel. Del mismo modo, en la categoría de $\text{Sh}(X)$ de las poleas de los conjuntos en un espacio topológico $X$, el functor $\text{Hom}(1, -)$ es el functor de global secciones, y esto es de nuevo casi nunca fieles.

Edit: En el topos de la teoría un poco más fuerte que la condición se llama ser bien-señaló.