¿Cuáles son simplicial espacios topológicos intuitivamente?

Question

(NOTA: he vuelto a publicar la pregunta a MO. Favor de contestar).

Tiendo a imaginar simplicial objetos en una categoría como algún tipo de "objetos topológicos", con una noción de homotopy. Simplicial conjuntos son como espacios topológicos, simplicial grupos son como topológicos, grupos, y así sucesivamente. Esta idea tiene algunas formulaciones exactas como se ha mencionado aquí. Sin embargo, no ayuda a pensar acerca de simplicial espacios topológicos.

Son útiles: por ejemplo, el nervio de la topológico, se trata de una categoría simplicial espacio. Aplicando esto a la simplicial construcción de $\mathrm{B}G$ donde $G$ es una Mentira grupo, vemos que $\mathrm{B}G$ es un simplicial colector, por lo tanto podemos hacer Chern-Weil teoría. Segal $\Gamma$-categorías de uso simplicial espacios esencialmente. Bueno, en realidad bisimplicial conjuntos, ya que todo lo que necesita es formar a los nervios de las distintas categorías, pero eso es más o menos lo mismo en el contexto de esta pregunta.

Singular conjunto simplicial functor $\mathrm{Top} \to \mathrm{sSet}$ puede ser fácilmente modificado para producir una simplicial espacio mediante el uso de un compacto-abierta la topología en el espacio de las asignaciones. Por desgracia, si no me equivoco, en este ejemplo los datos adicionales es redundante.

Puedo seguir simples argumentos que involucran simplicial espacios, ya que son más o menos los mismos argumentos acerca de simplicial conjuntos, que aprendí a ser (un poco) de contento. Sin embargo, esta interpretación es puramente formal. La heurística anterior es pensar "topológicos, espacios topológicos", que no tiene ningún sentido para mí. (Por pura curiosidad, se simplicial simplicial espacios útiles? O incluso quadrosimplicial conjuntos?)

Así que mi pregunta es: ¿cómo pensar acerca de simplicial espacios? En particular, significa la frase "topológicos, espacios topológicos" significa algo concreto y simple?

Answer 1

La analogía entre simplicial $X$-es y topológico $X$-las obras es tan larga como la noción de la debilidad de la equivalencia entre simplicial $X$-es son inducidos por algún tipo de realización geométrica. Pero este definitivamente no es el caso cuando se trabaja con simplicial espacios: débil equivalencias de simplicial espacios están definidos para ser de las componentes (= levelwise, objectwise) debilidad de las equivalencias.

Probablemente es mejor pensar en simplicial espacios como modelos para "homotopy coherente" diagramas $\mathbf{\Delta}^\mathrm{op} \to \mathbf{H}$ donde $\mathbf{H}$ $(\infty, 1)$- categoría de homotopy tipos. Esto probablemente suena un poco tonto, porque un simplicial espacio es en realidad un diagrama conmutativo $\mathbf{\Delta}^\mathrm{op} \to \mathbf{Top}$, pero la parte interesante es a la inversa: es un teorema de Vogt de que cada "homotopy coherente" diagrama de espacios topológicos pueden ser rectificados a un débil equivalente estrictamente conmutativo el diagrama. Por ejemplo, si usted quería generalizar la noción de "categoría" a la homotopy coherente, tendría sentido para mirar simplicial espacios (a la Rezk).

Dicho esto, también existe la Moerdijk estructura del modelo en bisimplicial conjuntos, en los que un débil equivalencia es una de morfismos que induce a una débil equivalencia entre la diagonal simplicial conjuntos. El Moerdijk la estructura del modelo es Quillen equivalente a la norma Kan–Quillen estructura del modelo en simplicial conjuntos.