Transformada de Fourier de la función Heaviside

Question

Como puedes ver en el título, quiero calcular la transformada de Fourier de la función Heaviside $u(t)$ . Probado que la función Heaviside es una distribución templada que debo evaluar:

$$\langle F(u(t)), \varphi \rangle \qquad \varphi \in S_{\xi}$$

Entonces uso la siguiente propiedad de la transformada de Fourier:

$$F(T^{(n)}) = (2 \pi i)^n \xi^n F(T)$$

En mi caso, como tenemos que $u' = \delta$ :

$$F(\delta) = 2 \pi i \xi F(u)$$

De este modo, demostré que $F(u)$ es una solución del siguiente problema de división para la distribución templada:

$$\begin{cases} \xi T = \frac{1}{2 \pi i} \\ T \in S' \end{cases}$$

Si encuentro otra solución del problema, entonces las dos soluciones diferirán de $c \delta \ , c \in \mathbb{C}$ . Demostremos que $p.v. \frac{1}{2 \pi i \xi}$ es una solución para el problema.

$$\langle p.v. \frac{1}{2\pi i \xi}, \varphi\rangle = \frac{1}{2\pi i}\ p.v. \int_{\mathbb{R}} \frac{\xi \varphi(\xi)}{\xi} d\xi = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}} \varphi(\xi) d\xi = \langle \frac{1}{2 \pi i} , \varphi \rangle$$

Entonces concluimos que:

$$F(u) = p.v.\ \frac{1}{2\pi i \xi} + c \delta \qquad c \in \mathbb{C}$$

Ahí está el problema. ¿Cómo puedo establecer el valor de c? Gracias de antemano.

Answer 1

Si conoce su distribución hasta una constante, una buena manera de fijar la constante es emparejar la distribución con una función de prueba $f$ . Para simplificar, podemos elegir un $f$ que ambos $f$ y $F(f)$ son reales y simétricas (una gaussiana, por ejemplo). Ahora calcule $\langle F(u),{F(f)}\rangle$ de dos maneras: $$\langle F(u),F(f)\rangle = p.v.\int\frac1{2\pi i\xi}F(f)(\xi)d\xi+c\langle\delta,F(f)\rangle = cF(f)(0) = c\int_{-\infty}^\infty f(x)dx.$$ La integral de valor principal desaparece porque $F(f)(\xi)$ es simétrico y $1/\xi$ es antisimétrico. Por otro lado, $$\langle F(u),F(f)\rangle = \langle u,f\rangle = \int_0^\infty f(x)dx = \frac12\int_{-\infty}^\infty f(x)dx.$$ Estos dos tienen que ser iguales, así que $c=1/2$ .

Obsérvese que ni siquiera necesitamos una función explícita $f$ sólo el conocimiento de que hay una función con simetrías adecuadas. Si prefieres algo más explícito, puedes elegir $f(x)=e^{-x^2}$ .