Cuántos unidad de plazas se pueden superponer una unidad dada de la plaza sin que se superpongan unos a otros?

Question

Cuántos unidad de plazas se pueden superponer una unidad dada de la plaza sin que se superpongan unos a otros?

@cálculo ha logrado organizar 7 plazas (ver este GeogebraTube página). Esta parece ser la máxima posible, pero cómo demostrarlo formalmente?

Answer 1

Aparentemente $8$ plazas son posibles. Empezar con el ejemplo sugerido por Pedro Woolfitt y tratar de empacar todo tan firmemente como sea posible.

En la siguiente imagen, cada cuadrado blanco está inclinado con respecto al cuadrado gris por un múltiplo de $\frac{\pi}{8}$ y las intersecciones son los más obvios, es decir, por cada dos plazas se cruzan en un lateral o en un solo punto.

Ahora perturbar los ángulos y posiciones ligeramente, de manera que la superposición se cumplen ciertas condiciones.

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En caso de que alguien quiera jugar con este ejemplo, aquí está el Mathematica código utilizado para producir las imágenes. En primer lugar, algunas funciones útiles:

ClearAll[A, T, sq]
A[phi_] := {{Cos[phi], -Sin[phi]}, {Sin[phi], Cos[phi]}}
T = {{0, 0}, {1, 0}, {1, 1}, {0, 1}, {0, 0}};
sq[v_, phi_] := Line[Table[A[phi].t + v, {t, T}]]

La primera imagen:

Graphics[{Opacity[0.2], Polygon[T], Opacity[1], Gray, sq[{0, 0}, 0], 
  Black, sq[{0, 0}, 3 Pi/4], sq[{0, 0}, 5 Pi/4], sq[{0, 1}, 5 Pi/8], 
  sq[{0, 1}, Pi/8], sq[{1, 0}, -Pi/8], sq[{1, 0}, -5 Pi/8], 
  sq[{1, 1}, 0], sq[{1/2, (1 - Sqrt[2])/2} - {0.1, 0.1}, Pi/4]}]

La perturbación:

Graphics[{Opacity[0.2], Polygon[T], Opacity[1], Gray, sq[{0, 0}, 0], 
  Black, sq[{0, 0} + {0.01, 0.02}, 3 Pi/4], sq[{0, 0} + {0.02, 0.01}, 5 Pi/4], 
  sq[{0, 1} + {0.01, -0.01}, 5 Pi/8 - 0.05], sq[{0, 1} + {0.03, -0.01}, Pi/8 - 0.05], 
  sq[{1, 0} + {-0.01, 0.03}, -Pi/8 + 0.05], sq[{1, 0} + {-0.01, 0.01}, -5 Pi/8 + 0.05], 
  sq[{1, 1} - {0.01, 0.01}, 0], sq[{1/2, (1 - Sqrt[2])/2} - {0.12, 0.12}, Pi/4]}]

Answer 2

Este es un comentario, pero demasiado grande para caber en la sección de comentarios

Puro área de argumentos es poco probable que funcionen como demuestra esta cerca de la señorita para $8$ plazas: